稳定环的相对K1和相对K

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1、中国科学技术大学硕士学位论文稳定环的相对K<,1>和相对K<,2>姓名:储诚浩申请学位级别:硕士专业:基础数学指导教师:宋光天2003.2.1摘要本文主要讨论特殊稳定秩条件下的低阶K一群.第二章证明了环R上的任意两个稳定同构的有限生成投射模均同构当且仅当R上任意阶全矩阵环S均是正则地稳定环(即:对任意正则元a,b∈S,若Sa-1-Sb=S,则存在c∈S使得a+cb可逆),并给出了正则地稳定环的环论刻划.半局部环是满足H.Bass提出的SR2(R,R)条件的重要环类.第三章对Silvester[9]关于半局部环的西群的结果做了一个补充t即举例说

2、明了当R/rad(R)的直和项中含有F20F2时,一般地有墨(R)喾U(R)/U(R)’,这里rad(R)是R的Jacobson根、F2是二元域、U(R)是冗的单位群、u(R)’是U(R)的换位子群;利用Cohn[22】和Silvester[9,10]提出的泛(universal)和拟泛(quasi—universal)的概念,证明了对任意半局部环R及其理想,有Ⅳl(R,J≥呵(R,,)/y(R,I),这里u(R,I)=U(R)n(1-4-I),V(R,I)是由{(1-t-ab)(1+ha)_1fn,b∈R且a或b∈I,1+ab∈u(R))生

3、成的U(R)的子群.记礁(n,R,I)=ker(K2(n,R)-÷K2(n,R/s)).第四章证明了当环R及其理想,满足s总(R,,)条件时,弼(mR,』)具有满稳定性;并且在SSR2(R,I)条件下计算了恐(R,,)和弼(n,R,n这里SSR2(R,I)条件是指SR2(R,I)条件成立,且对任意o,b∈I有『_单位伪正则元c∈R使得1十(a—c)b∈u(R).对交换半局部环R,Silvester[11】证明了鲍(R)由Steinberg符号生成.这一结果被推广到弼(n,R,J)上,其中,是半局部环R的理想且包含于月的中心,n≥3.第五章是对

4、有限环的鲍群的初步探讨,通过环R的Jacobson根的加群结构,给出了当冗是交换有限的局部环、Jacobson根平方为零且2∈u(R)时的%(R)的结构.AbstractThispaperconsidersthelowerK—groupsundercertainstablerangeconditions.InChapter2,itisprovedthatanytwostableisomorphicfinitelygeneratedprojectiveR-moduliareisomorphicifranyfullmatrixringSoverR

5、isregularlystablefi.e—foranyregularelementsa,b∈SwithSa+Sb=S,thereexistsac∈Ssuchthata+c6∈u(S)).Characterizationsofregularlystableringsarealsogiven.Semi—localringsareimportantringssatis—lyingBass’sSR2(冗,R)conditionChapter3givesacomplemen—taritytoSilvester[9]’SresultabouttheKI

6、groupofasemi—localring,i.e.,anexampleisgiventoshowthatifR/rad(R)containsF2oF2asasummand,thenKL(R)喾U(R)/U(R)’ingeneral.Usingtheconceptionofuniversalandquasi—universalproposedbyCohn[22】andSilvester[9,101,itisalsoprovedthatforanysemi—localringRanditsidealI,K1(R,I)兰U(R,S)/V(R,n

7、whereU(R,I)=U(R)n(t+I)andV(R,,)isthesubgroupofU(R)gener-atedby{(1+06)(1+ba)一1Io,b∈Rwithaor6∈I,l+ab∈u(R)).Let矗j(n,R,I)=ker(K2(n,R)—+.配(n,R/S)).Chapter4provesthatthe弼(n,R,I)grouphassurjectivestabilityiftheSR2(R,I)conditionissatisfied,andcalculatesthe/(2(R,I)and弼(n,R,I)groupsu

8、ndertheSSR2(R,,)condition(i.e.,theSR2(兄,I)condi—tionissatisfied,andforanyo,b∈I,the

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