青少数学国际城市邀请赛参赛代表遴选决赛试题

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1、2015年青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選決賽試題________縣市________國民中學____年級編號：________姓名：_________作答時間:二小時性別:□男□女第一部分：填充題，每小題5分，共60分(注意：請在每題試題後所附的空格上填入答案，只需填寫答案。若答案為數值，請用阿拉伯數字；若答案為分數，請化為最簡分數)4444(10324)(22324)(34324)(46324)1.設m為整數且m=，4444(4324)(16324)(28324)(40324)則m=____________。答：24

2、1222.設k為一正數，若方程式2015xkx51020和5102xkx20150有一個公共根，則k=_______。答：71173.設右下圖中有r個三角形，則r=_________。答：354.小明在做美術作品時，首先將一個邊長為4cm的正方體的各面塗上顏色，然後再將此正方體切割成64個邊長為1cm的小正方體，若這些小正方體總共有n個面沒有被塗上顏色，則n=。答：288225.已知x與y皆為整數，若有p組數對(x,y)滿足不等式4xy17，則p=_________。答：482426.設,為方程式x2x20的二根

3、，若,也是x2axb0的根，則2a+b=_____________。答：127.已知AB為長方形ABCD的一邊，若AB=14cm，P為AB邊上的一點，CP=13cm，DP=15cm且CQ⊥DP於點Q，則ABQ的面積=_______。DCQIAPB答:36.968.若正整數m恰有四個正因數(包括1和m本身)，而這四個正因數之和為S，則S為好數，如12和15都是好數，問在{2015,2016,…,2024}這些數中共有幾個好數?_________答：29.已知正方形ABCD的邊長為13公分，設E為BC邊上的一點，F為AB邊上的一點，

4、使得∠FDE045，若EF=11公分，則CE之長為_________公分。1117答：2210.設x為整數，若有q個x使得S15x17x18是某個質數的平方，則q=________。答：011.設有2015個不等於104的正整數，今將這些數標示為a,a,...,a，若其122015中任意連續若干數的和均不等於104，則aa...a最小值為122015_________。答：399112.若從1,3,5,…,2015這些奇數中，最多可取t個數使得任意三個數的和均為21的倍數，則t=__________。答：48第二部分：計算證

5、明，每題20分，共60分(注意：在試卷上作答，須詳列過程及說明理由)1.假設有一個盒子裡有紅、白、黑三種顏色的球共85顆。已知從其中任意取出21顆，便能保證其中至少有9顆是同色的。試證明從其中任意取出39顆，便能保證其中至少有18顆是同色的。參考解答假設紅球有r顆，白球有w顆，黑球有b顆。且不妨假設rwb。(1)若b4，那麼任取39顆球，紅球加白球至少有35顆，必有某色有18顆以上。(2)若b5，如果w8，那麼8顆紅球、8顆白球、5顆黑球中沒有9顆同色的球。可知w8為不可能,因此w7。那麼任取39顆球，白球加黑球至多有14顆，

6、可知紅球至少有25顆。222.設u,v為有理數，如果w可以表示為3u8uv6v的形式，則稱w為“聯誼數＂，試問(1)任意兩個聯誼數的積是否為聯誼數?為什麼?(2)任意兩個聯誼數的商是否為聯誼數?為什麼?參考解答:由222222w386(44)(uuvvuuvv242)uuvv22(2)2uv()uv令22muvnuvwmnmn(2),()2(,為有理數)2222設wpqwrs2,2為任意兩個聯誼數12(1)222222222222則wwp=(2q)(r2)=spr2ps2qr

7、4qs1222(2prqs)2()psqr表示任意兩個聯誼數的積亦為聯誼數(2)任意兩個聯誼數之商22222222wp2(2)qpqrsp(2)(2rqsp)2()sqr1==222222222wrsrsrs2(2)(2)(2)rs2pr2qs22psqr()2()2222rs22rs證得任意兩個聯誼數之商亦為聯誼數3.已知P為圓O外部的一個點，過P作圓O的兩條切線PQ與PR和一條割線PAB;令M為PQ的中點，連接BM與RQ交於C點，證明AC//PQ。QBMCPOR參考解答:聯結AQ,AR,BQ,B

8、R;令QR與PB交於D,由⊿PRA∾⊿PBR(∵∠APR=∠BPR,∠PRA=∠PBR)➾ARPAPRBRPRPB又⊿PAQ∾⊿PQB(∵∠APQ=∠BPQ,∠PQA=∠PB