简易建模分析-工厂生产模型

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1、简易建模分析——工厂生产模型李巍峰5081209130赵子锋5081209136摘要随着计算机数字化不断深入发展，常微分建模逐渐应用于各领域，如医学上的传染病预测，军事上的交战模拟，经济学上的价格替换效应，生态学中的种群稳定性分析以及与我们生活息息相关的捕捞行为。而本文研究的则是在生产活动的过程中，产出量和生产要素投入量的关系，根据不同的假设和模型建立微分方程，并利用数学工具，求解出产量的近似模拟函数，并就相应的模型做出分析和剖析。问题重述工厂的生产能力，即“技术”，指的是一个工厂在一定投入下的产出。它可以用函数表示

2、为，其中表示各种要素的投入。在经济学中，“技术”对于厂商是一个非常重要的因素，特别是在求解利润最大化并制定产量的时候。在现实生活中，厂商不可能为了求解工厂的生产技术而不断调整要素投入以得到一个“产量——要素投入”对应关系。因此，需要建立模型对厂商的生产技术进行求解。问题分析影响生产的因素有很多，包括员工素质、工厂条件、原材料质量、流水线布局等，将所有因素考虑进去将会很复杂，给模型的求解产生困难。所以，为了简化模型，我们首先考虑那些厂商可控的因素：原材料投入和产量（虽然产量是因变量，但是产量也直接影响到下一单位投入的产

3、出）。模型基本假设基本假设：假设1工厂的原材料投入是可以控制的且工厂可以投入任意数量的原材料；假设2工厂的原材料只有一种；常微分小论文简易建模分析——工厂生产模型假设3工厂的生产不会受到自然灾害等突发事件的影响。变量解释：r表示原材料的投入量；y表示产出量。具体模型的建立与求解[模型1]剖析：生产的边际产出（即一单位要素投入的产出）受到原材料投入的数量影响：刚开始投入原材料时，边际产出将增加，在到达一定数量后，原材料的投入导致生产效率的下降。这在生产实际中是非常符合现实情况的：比如在一个只有一个厨师的厨房里，不妨把

4、雇佣厨师看作是增加原材料投入的行为。（事实上两者在特征上是十分吻合的。）多雇佣一个厨师会增加生产效率；而在一个已经拥有十个厨师的厨房里，再多雇佣一个厨师非但不会增加生产效率，还有可能减少产出。所以，在这里需要一个数来表示工厂最大所能提供的岗位数，先假设工厂最大的岗位数为。模型1假设：假设4边际产出是原材料的函数；假设5该函数中自变量有且只有原材料；假设6存在最大原料投入量，其含义是，在该数量下边际产出已经为零。根据上述假设，可以列出微分方程：其中，初值条件y(0)=0，k是影响因子。方程左端代表的即是前面所述的的边际

5、产出，右端函数则反映该产出随原材料投入量r的增加先递增后递减的特征。这个方程类似于Logistic模型，区别在于右端函数只含有自变量而不含有因变量。利用MATLAB软件求解这个微分方程可得：y=(k*r^2*(3*a-2*r))/6通过合理地取k和a的值，利用这个方程就能近似模拟厂商的生产函数。第2页共5页常微分小论文简易建模分析——工厂生产模型附图-1取k=1α=100时用matlab作图[模型2]剖析：在模型1中，我们只顾及原材料的投入量与边际产出之间的关系。但在现实生活中，还有另外一层关系——那就是产量和边际

6、产出的关系。每一家工厂都有预计的产量，一旦达到这个预计产量，工厂就处于超负荷运行状态，就会导致生产效率的降低，即边际产出下降。模型2假设：假设4边际产出是原材料和产量函数；假设5产量的增加会抑制边际产量；在这里，我们假设工厂的预计产量为。因此，对于工厂的边际产出，我们面临两个影响效应：原材料投入和产量。假设原材料投入产生的效应占的比重是，而产量所第3页共5页常微分小论文简易建模分析——工厂生产模型产生的影响效应比重为。则可以得到微分方程：其中，初值条件y(0)=0，l是产量的影响因子。此时右端函数反映了一个现象：一方

7、面，边际产出随着原材料增加会有先递增后递减的趋势，另一方面产量的不断增加也将在某种程度上对其有抑制作用。利用MATLAB软件，求解这个微分方程可得到：y=(-b*l^3*v^3+a*k*u*l*v+2*k*u)/(l^3*v^3*exp(l*t*v))-(-b*l^3*v^3+k*u*l^2*t^2*v^2-a*k*u*l^2*t*v^2-2*k*u*l*t*v+a*k*u*l*v+2*k*u)/(l^3*v^3)所以，通过合理地取参数值，利用这个方程就可以更加近似地模拟出厂商的生产函数。附图-2取u=1v=1k=1

8、l=1α=100β=100时用matlab作图第4页共5页常微分小论文简易建模分析——工厂生产模型模型推广如果要素投入不止一种的情况下，那么相应的，我们可以在右端函数加入新的自变量和对应的比重系数和影响因子，通过求解并合理取参数值来模拟厂商函数。比如，对于零件制造厂而言，除了原材料金属和产量外，拆卸、熔合机器设备等资产性投入量也是非常重要并且应