(精品)浙江大学研究生学位课程

《(精品)浙江大学研究生学位课程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章常微分方程及方程组的解法6.1常微分方程及其求解概述6.2初值问题解法6.3边值问题解法浙江大学研究生学位课程1《实用数值计算方法》6.1常微分方程及其求解概述6.2初值问题解法1.Euler方法2.线性多步法3.Runge--Kutta法4.方程组及刚性问题的Gear方法6.3边值问题解法1.Shooting(试射法)2.差分法浙江大学研究生学位课程2《实用数值计算方法》6.1常微分方程及求解概述（OrdinaryDifferentialEquations,ODE)6.1.1基本概念描述自由落体的ODE:浙江大学研究生学位课程3《实用数值计算方法》只有

2、一个自变量的微分方程为ODE,否则称为偏微分方程PDE。方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。（6-4）是二阶的方程中关于未知函数及其各阶导数均是一次的，则称为线性微分方程。和（6-1）都是线性二阶ODE。(6-2),(6-3)是(6-1)的初始条件。亦称定解条件。(6-1)(6-2)叫做初值问题。6.1.1浙江大学研究生学位课程4《实用数值计算方法》6.1.1（6-1），（6-3）叫做边值问题。在没有给定解条件时。方程一般有一族解曲线y(x,c)。如：对任意的n阶ODE，如果能写成：则称该方程为显式的。方程（6-4）是显式的。而下面方程是隐式的。浙

3、江大学研究生学位课程5《实用数值计算方法》对于高阶显式方程。通过定义n-1个新变量，可以写成n维一阶方程组。即令：6.1.1浙江大学研究生学位课程6《实用数值计算方法》在讨论初值问题时，我们从一阶方程开始：然后毫不费力地套用来解方程组。当f(x,y)与y无关时，f(x,y)=g(x)6.1.1浙江大学研究生学位课程7《实用数值计算方法》6.1.2数值解及其重要性浙江大学研究生学位课程8《实用数值计算方法》6.1.3ODE数值解的基本思想和方法特点基本思想有两点1.离散化用Taylor级数，数值积分和差商逼近导数等手段，把ODE转化为离散的代数方程(称差分

4、方程)。2.递推化在具有唯一解的条件下，通过步进法逐步计算出解在一系列离散点上的值。从而得到原ODE的数值近似解。浙江大学研究生学位课程9《实用数值计算方法》6.2初值问题解法我们讨论一阶ODE，而高阶可能化为一阶ODEs。一阶初值问题可以一般地写成：6.2.1欧拉（Euler）方法Euler方法是求解(6-8)最简单方法，但精度差，故不实用。然而对理论分析很有用。浙江大学研究生学位课程10《实用数值计算方法》6.2.1.1方法原理及推导设初值问题(6-8)满足：6.2.1浙江大学研究生学位课程11《实用数值计算方法》6.2.1图6.1常微分方程初值问题的数值解浙

5、江大学研究生学位课程12《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程13《实用数值计算方法》欧拉方法的几何意义：h步长6.2.1图6.2Euler方法的几何意义浙江大学研究生学位课程14《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程15《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程16《实用数值计算方法》6.2.1多步法单步法自动起步显式隐式半隐式图6.3ODE求解方法的类型浙江大学研究生学位课程17《实用数值计算方法》表6.1自由落体运动方程的Euler公式求解6.2.1浙江大学研究生学位课程18《实用数值计算方法》图6.4运动轨迹6.2.1

6、浙江大学研究生学位课程19《实用数值计算方法》图6.5Euler公式的误差6.2.1.2Euler方法的误差估计一般其它方法的误差估计也类似。这里误差是指截断误差(算法理论误差)而不是舍入误差。后者由计算机字长等决定，属于稳定性问题。i)几何分析6.2.1浙江大学研究生学位课程20《实用数值计算方法》6.2.1局部截断误差，浙江大学研究生学位课程21《实用数值计算方法》6.2.1整体截断误差：设ym是Euler公式（6-9）精确解，而y(x)是初值问题（6-8）的解。则整体截断误差定义为它是局部截断误差的积累。定理：若f(x,y)关于y满足Lipschitz条件。

7、则有估计式：浙江大学研究生学位课程22《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程23《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程24《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程25《实用数值计算方法》6.2.1注意：稳定性：浙江大学研究生学位课程26《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程27《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程28《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程29《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程30《实用数值计算方法》6.2.1浙江大学研究生学位课程31《实用数值计算

8、方法》6.