北京市西城区2015届高三上学期期末考试 数学

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1、第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则集合（）（A）（B）（C）（D）2.已知复数z满足，那么的虚部为（）（A）（B）（C）（D）3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）（A）（B）（C）（D）4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）16（A）（B）（C）（D）5.已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）（A）（B）（C）（D）6.若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（）16（A）（B）（C）（D）7.．定义

2、域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（）（A）（B）（C）（D）8.如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设x，则当时，函数的值域为（）（A）（B）（C）（D）16【答案】D【解析】试题分析：棱长为，故体对角线=，根据对称性，只需研究，函数的值域，连接，则面，此时，当时，截面周长为截面周长的一半，即，当时，即当截面过体对角线中点时，此时截面为正六边形，其顶点为个棱的中点，如图所示，截面周长为.，所以函数的值域为.考点：1、直线和平面垂直的判定；2、截面周长.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分

3、，将答案填在答题纸上）9.在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数_____．【答案】4【解析】试题分析：，因为，故，即，解得.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.10.若等差数列满足，，则公差______；______．1611.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______.（用数字作答）13.如图，为圆上的两个点，为延长线上一点，为圆的切线，为切点.若，，则______；______．1614.在平面直角坐标

4、系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点.（1）在映射的作用下，点的原象是；（2）由点所形成的平面区域的面积为______．考点：1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）16已知函数，，且的最小正周期为.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间.16.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相

5、同，求的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望．16甲组乙组8901a822所以的数学期望．考点：1、平均数；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列和期望.17.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF16是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的大小.又因为平面，所以.因为，所以平面.16（Ⅲ）解：由（

6、Ⅱ），得，.设平面的法向量为，所以即令，得.由平面，得平面的法向量为，则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.16考点：1、直线和平面垂直的判定定理；2、直线和平面所成的角；3、二面角.18.（本小题满分13分）已知函数，其中是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）的单调减区间为；单调增区间为；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，，因为，所以的解集为，即单调递增区间；的解集为，即单调递减区间；（Ⅱ）函数，令，得，显然是一个零点，记，求导得，易知时递减；时递增，故的最小值，又，故，即，所以函数的零点个数1个.

7、试题解析：（Ⅰ）解：因为，，所以．令，得．当变化时，和的变化情况如下：16↘↗故的单调减区间为；单调增区间为．19.（本小题满分14分）已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k，为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】16考点：1、直线的方程；2、直线和抛物线的位置关系；3、导数的几何意义.2