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1、多面体的外接球问题多面体的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从常见的题型出发，进行归类总结，提高解决这类题的能力。题型一有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形中，＝4，＝3，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A.B.C.D.B2.三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且，，则该球的体积为ABCD解析：D3．在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．D．A4.在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平
2、面，若四面体顶点都在同一个球面上，则该球的体积为ABCD5．平行四边形ABCD中，·=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．试题分析：,所以,因为为平行四边形,所以.因为为直二面角,所以,因为,,,所以.因为,所以.分析可知三棱锥的外接球的球心为的中点.因为,所以.则三棱锥的外接球的半径为1,表面积为.故C正确.6已知直角梯形ABCD，，，，沿折叠成三棱锥，11当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．解：如图，，∴.取的中点的中点
3、，连结，∵当三棱锥体积最大，∴平面平面，即为外接球的半径.此时三棱锥外接球的体积：题型二等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1.在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为____________
4、科
5、2四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是____________．[来源:学,科,网]【答案】20试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为，则有，解得，，，所以三棱锥的体积为－＝20．题型三直角四面体的外接球补成长
6、方体，长方体对角线长为球的直径1.已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为________2．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1＋S2＋S3的最大值是________．答案 8解析 由·＝0，·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，⊥，由点A，B，C，D构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB2＋AC2＋AD2＝(2＋2)2＝16，即＋＋＝16≥A
7、B·AC＋AB·AD＋AC·AD，∴S1＋S2＋S3＝(AB·AC＋AB·AD＋AC·AD)≤×16，当且仅当AB＝AC＝AD＝时，S1＋S2＋S3取得最大值8.3．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．解析:由题意得：两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥11的外接球，半径为，表面积为，选B．C4.在正三棱锥中，分别是的中点，，若，则外接球的表面积为ABCDC5.在正三棱锥中，分别是的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为ABCD7．已知正方形的
8、边长为4，点分别是边的中点，沿折叠成一个三棱锥（使重合于点），则三棱锥的外接球的体积为（）A.B.C.D.解析：折成的三棱锥如图所示.由题意可知两两互相垂直且.设此棱锥外接球的半径,则.则外接球的体积为.故B正确.8.已知在球的表面上，，，是边长为的正方形，则的面积为____________题型四过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体,其中是边长为6的等边三角形,平面,,则四面体外接球的表面积为________．【答案】．【解析】根据已知中底面是边长为6的等边三角形,平面,可得此三棱锥外接球,即以
9、为底面以为高的正三棱柱的外接球．因为是边长为6的正三角形,所以的外接圆半径为,所以球心到的外接圆圆心的距离为,所以球的半径为,所以四面体外接球的表面积为,故应填．2.已知三棱锥中，,,直线底面所成的角是，则此时三棱锥外接球的体积是()11ABCD选D3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）A．外接球的半径为B．表面积为C．体积为D．外接球的表面积为解：由三视图可知，这是侧面ACD⊥ABC，高的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为0，半径
10、为x，则，在直角三角形OEC中，OE2+CE2=OC2，即，整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，所以A，C，D都不正确，故选B．题型五平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是，球的半径为，截面圆的半径为，则有1.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.B.C.D.2.已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为.3
