线性代数期末复习提纲

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1、★线性代数基本内容、方法及要求第一部分行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（其中为阶方阵，为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质

2、、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。4、会计算简单的阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。第二部分矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。4、阶矩阵可逆为非奇异(非退化)的矩阵。为满秩矩阵。只有零解-19-有唯一解的行（列）向量组线性无关的特征值全不为零。可以经过初等变换化为单位矩阵。可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（（

3、1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分向量组的

4、线性相关性【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量，向量组：，向量组：，则（1）向量可被向量组线性表示（2）向量组可被向量组线性表示（3）向量组与向量组等价的充分必要条件是：（4）基本题型：判断向量或向量组是否可由向量组线性表示？如果能，写出表达式。解法：以向量组：以及向量或向量组:为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组的线性相关、线性无关的常用方法：-19-方法一：（1）向量方程只有零解向量组线性无关；（2）向量方程有非零解向量组线

5、性相关。方法二：求向量组的秩（1）秩小于个数s向量组线性相关（2）秩等于个数s向量组线性无关。（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关以向量组为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关以向量组为列向量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道

6、两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念。第四部分线性方程组【主要内容】1、齐次线性方程组只有零解系数矩阵的秩未知量个数n；2、齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩未知量个数n.3、非齐次线性方程组无解增广矩阵秩系数矩阵的秩；4、非齐次线性方程组有解增广矩阵秩系数矩阵的秩特别地，1）增广矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数n非齐次线性方程组有唯一解；-

7、19-2）增广矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数n非齐次线性方程组有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程；（2）特征向量的求法

8、：求方程组的基础解系。5、相似矩阵的定义（）、性质(相似、、有相同的特征值)。6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵.（2）求出的所有特征值（3）解方程组（）求对应于特征值的特征向量（4）若特征向量组不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组，记，对二次型做正交变换,即得二次型的标准形