人教版二项式定理——典型例题解析

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1、人教版二项式定理概　念　篇【例1】展开(2x－)5.分析一：直接用二项式定理展开式.解法一：(2x－)5=C(2x)5+C(2x)4(－)+C(2x)3(－)2+C(2x)2(－)3+C(2x)(－)4+C(－)5=32x5－120x2+－+－.分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法二：(2x－)5==［C(4x3)5+C(4x3)4(－3)+C(4x3)3(－3)2+C(4x3)2(－3)3+C(4x3)(－3)4+C(－3)5］=(1024x15－3840x12+5760x9－4320x

2、6+1620x3－243)=32x5－120x2+－+－.说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例2】求二项式(a－2b)4的展开式.a分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a－2b)4=Ca4+Ca3(－2b)+Ca2(－2b)2+Ca(－2b)3+C(－2b)4=a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b中的符号“－”忽略.【例3】在(x

3、－)10的展开式中，x6的系数是.解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C.解法二：(x－)10的展开式的通项是Tr+1=Cx10－r(－)r.令10－r=6，即r=4，由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=Cx6(－)4=9Cx6.∴x6的系数为9C.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.二项式系

4、数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【例4】已知二项式(3－)10，(1)求其展开式第四项的二项式系数；(2)求其展开式第四项的系数；(3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式.解：(3－)10的展开式的通项是Tr+1=C(3)10－r(－)r(r=0，1，…，10).(1)展开式的第4项的二项式系数为C=120.(2)展开式的第4项的系数为C37(－)3=－77760.(3)展开式的第4项为－77760()7，即－7776

5、0.说明：注意把(3－)10写成［3+(－)］10，从而凑成二项式定理的形式.【例5】求二项式(x2+)10的展开式中的常数项.分析：展开式中第r+1项为C(x2)10－r()r，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0=1，x≠0.解：设第r+1项为常数项，则Tr+1=C(x2)10－r()r=Cx()r(r=0，1，…，10)，令20－r=0，得r=8.∴T9=C()8=.∴第9项为常数项，其值为.说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指

6、数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；(2)求(1－2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.解：(1)设第r+1项系数最大，则有即化简得又∵0≤r≤7，∴r=5.∴系数最大项为T6=C25x5=672x5.(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1－2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故

7、只需比较T5和T7两项系数的大小即可.=＞1，所以系数最大项为第五项，即T5=560x4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=C(2x)5，T7=C(2x)6，依题意有C25=C26，解得n=8.(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C(

8、2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大，则有∴5≤r≤6.∴r=5或r=6.∴系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.应　用　篇【例8】若