2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末复习提升练习苏教版

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1、第3章 数系的扩充与复数的引入1.复数的概念(1)虚数单位i;(2)复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R);(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.2.复数集3.复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R)(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;(4)除法:==+i(z2≠0);(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况;(6)特殊复数的运算:in(n为正整数

2、)的周期性运算;(1±i)2=±2i;若ω=-±i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.4.共轭复数与复数的模(1)若z=a+bi,则=a-bi,z+为实数,z-为纯虚数(b≠0).(2)复数z=a+bi的模

3、z

4、=,且z·=

5、z

6、2=a2+b2.5.复数的几何形式(1)用点Z(a,b)表示复数z=a+bi(a,b∈R),用向量O表示复数z=a+bi(a,b∈R),Z称为z在复平面上的对应点,复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0).(2)任何一个复数z=a+bi一一对应着复平面内一个点Z(a,b),也一一对应着一个从原点出发的向量.6.复数加、减法的几何意义(1)复数

7、加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线,则复数z1+z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数z1-z2是连接向量、的终点,并指向Z1的向量所对应的复数.题型一 分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时,利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当x+yi没有说明x,y∈R时,也要分情况讨论.例1 已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解 (1)当z为实数时,则有∴∴当a=6时,z为实数.(2)当z为虚数时,则

8、有∴∴a≠±1且a≠6,即当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.(3)当z为纯虚数时,则有∴∴不存在实数a,使z为纯虚数.跟踪演练1 当实数a为何值时,z=a2-2a+(a2-3a+2)i.(1)为实数; (2)为纯虚数;(3)对应的点在第一象限内;(4)复数z对应的点在直线x-y=0上.解 (1)z∈R⇔a2-3a+2=0,解得a=1或a=2.(2)z为纯虚数,则即故a=0.(3)z对应的点在第一象限,则∴∴a<0,或a>2.∴a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).(4)依题设(a2-2a)-(a2-3a+2)=0,∴a=2.题型

9、二 数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.本章中,复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.例2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解 设z=x+yi,x,y∈R,如图.∵OA∥BC,OC=BA,∴kOA=kBC,

10、zC

11、=

12、zB-zA

13、,即解得或∵OA≠BC,∴x2=-3,y2=4(舍去),故z=-5.跟踪演练2 已知复数z1=i(1

14、-i)3.(1)求

15、z1

16、;(2)若

17、z

18、=1,求

19、z-z1

20、的最大值.解 (1)

21、z1

22、=

23、i(1-i)3

24、=

25、i

26、·

27、1-i

28、3=2.(2)如图所示,由

29、z

30、=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1对应着坐标系中的点Z1(2,-2).所以

31、z-z1

32、的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知

33、z-z1

34、max=

35、z1

36、+r(r为圆半径)=2+1.题型三 转化与化归思想的应用在求复数时,常设复数z=x+yi(x,y∈R),把复数z满足的条件转化为实数x,y满足的条件,即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重

37、要.例3 已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,求实数a的取值范围.解 设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i为实数,∴y=-2.又==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i为实数,∴x=4.∴z=4-2i,又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限.∴解得2

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