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《湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题二1•确定下列二元关系：(1)4={1,2,3},B={1,3,5},R={x,yx,yeAHb}qAxB(2)4={0,1,2,345,6,8},R=农,外=2y}cAxA分析：本题主要运用知识为集合的交、关系以及笛卡尔积的定义。解：(1)/?={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<3,3>}(2)/?={<1,0>,<2,1>,<4,2>,<8,3>}2.请分别给出满足下列要求的二元关系的例子：(1)既是自反的，乂是反自反的；(2)既不是自反的，又不是反自反的；(3)既是对称的，乂是反对称的；(4)既不是对称的，又不是反对称的.分析木题主要考察关
2、系的5个性质(自反性、反白反性、对称性、反对称性、传递性)。解：设R是定义在集合A上的二元关系。(1)令A=0,则R=0,于是既是口反又是反口反的；(2)令4={1,2},/?={<1,1>}，于是/?既不是白反乂不是反H反的；(3)令A={1,2},/?={<1,1>,<2,2>},于是R既是对称又是反对称的；(4)令A={1,2,3},/?={<1,2>,<2,1>,<1,3>},于是/?既不是对称又不是反对称的。3.设集合A有〃个元素，试问：(1)共冇多少种定义在4上的不同的二元关系？(2)共有多少种定义在A上的不同的自反关系？(3)共有多少种定义在4
3、上的不同的反自反关系？(4)共冇多少种定义在A上的不同的对称关系？(5)共有多少种定义在A上的不同的反对称关系？分析：本题主要考察知识为二元关系的口反性、反口反性、对称性、反对称性所对应的关系矩阵Z性质，本题可以在做完第四题(根据满足某个性质的关系Z关系短阵)Z后再来考虑。解：设
4、A
5、=n,于是2(1)共有2"「种定义在A上的不同的二元关系；2(2)共有2"一"种定义在A上的不同的口反关系；9(3)共有种定义在A上的不同的反自反关系；(4)共有2〃.2"("T)/2=2"("+1)/2种定义在A上的不同的对称关系；(5)共有=2“・3"种定义在4上的不同的反
6、对称关系，•其中，加=川"一。k=O24.请分别描述白反关系，反白反关系，对称关系和反对称关系的关系矩阵以及关系图的特征.分析：本题主要是根据自反关系、反对称关系、对称关系和反对称关系之定义来确定关系矩阵以及关系图。解：(1)白反关系矩阵的主对角线上元素全为1；而关系图屮每个结点上都有圈。(2)反自反关系矩阵的主对角线上元素全为0;而关系图中每个结点上均无圈。(2)对称关系矩阵为对称矩阵；而关系图中任何两个结点Z间的冇向弧是成对出现的,方向相反。(3)反对称关系矩阵Mr=(旬片刈的元素满足：当i工j时，xrjj=0o2.设A二{1,2,3,4},R={〈1,
7、1〉,〈1,2〉,〈2,4〉},S={〈1,4〉,〈2,3),〈2,4),〈3,2)}，试求R•S,S•R,炉,及S?.分析主要考察关系的复合运算之定义。解:/?•S二{v1,4>,v1,3>},S•/?二{V3,4>}R2={<1,1>,<1,2>,<1,4>},S2={<2,2>,<3,4>,<3,3>}。3.试举出使(snr)-p(=(s-p)n(T-p)成立的二元关系R,S,T,P的实例.分析木题主要说明关系的复合与关系的交运算不满足分配率。解：设R={<3,1>,<3,2>),7={<1,3>,<3,2>},S={<1,2>,<2,3>},P={<
8、2,1>,v3,1>},于是，有Sc7二0,/?•(Sc门二0,/?•S二{V3,2>,v3,3>},/?•T二{V3,3>},因此，(/?•S)c(/?•T)={V3,3>}H0,从而，/?•(ScT)u(/?•S)c(/?•T)。乂，(Sc7>P=0,5P={},TP={<3,1>,<1,!>},因此，(5-P)n(T-P)={<1,1>}#0,从而,(ScT)•Pu(S•P)c(T•P)。4.设/?和S是集合A上的二元关系.下而的说法正确吗?请说出理由.(1)若R和S是自反的，则/?・S也是自反的；(2)若/?和S是反白反的，则/?・S也是反
9、自反的；(3)若7?和S是对称的，则7?・S也是对称的；(4)若/?和S是反对称的，则/?・S也是反对称的；(5)若/?和S是传递的，则/?・S也是传递的分析本题主要是考察两个满足同一种性质的关系之复合运算是否保该性质，是的可以根据定义给出证明，不正确请给出反例，一般如呆正确相对容易证明，不正确给出反例相对•较难。解：(1)正确。因为对任意xgA,有天R,xSx,所以x(/?S)Xo故ES是自反的。(2)错误。例如，设x,y6A,Ka7?v,ySx,于是x(R・S)兀。故ES不是口反的。(3)错谋。例如，设对称关系/?={,vz,x>},S={vz
10、,y>,vy,z>}。于是，vx,但vy,故不是对称
