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1、牛顿插值法在钢铁冶金中的应用木文阐述了牛顿插值法的主要内容、基木方法及其在钢铁冶金领域的应用,文中所举实例是冶金工程中的较为典型的问题。关键词：差分；差商；牛顿插值法；钢铁冶金0引言工程技术和科学研究屮常利用函数图表计算。所利用的函数图表或是由实验整理出来的，或是从理论推导出来的解析式，但该解析式由于太复杂而不便于直观理解或每次代入它而作具体运算，从而给出若干函数值的表。实际上，即使是一大型函数表，但其列出的数据总是有限，因而往往是，需耍求出已列数据以外的数据，为此就得做一些补充计算，即插值计算。插值计算方法的基本思想是：构造某个简单函数用以逼近原函数，通过计算逼近的关系式从而得到
2、研究对象的近似值。逼近函数的类型有多种选法，但其基本上是代数多项式，这是因为数学屮业已阐明，有相当广泛的函数可以用代数多项式逼近。建立代数多项式也冇多种方法，其中牛顿插值的方法具有递推性，其组成很有规律，方便于实际计算,并能应用较少的已知数据达到应冇的精度。包括牛顿插值法的诸多插值方法，在一般数值方法教木屮有详细的论证。本文避开数学上的逻辑推理论证过程，就冶金工程上较典型的实际问题综合地提出牛顿插值法的应用。1牛顿插值多项式已知函数y=f(x),如果它是给出的函数表，其n+1个节点xo，xi，…，x“处的函数值是yo,力，…，％;如果给出的是尸f(x)的解析式，则在上述节点处取值y
3、o,yi，…，yn，要求建立一个次数不超过n的多项式Nn(x),使Nn(Xi)=yi(i=0,1,…，n)o为此，只耍在n+1个已知节点石以外再给一个节点x,此时将点x也看作一个节点，推出逼近原函数f(x)的牛顿插值多项式Nn(x)为Nn(x)=f(xo)+f[xo,xi](x-xo)+f[xo,xi,x2](x-x())(x-xi)+,...,+(1)f[Xo,Xi,…,Xn](X-Xo)(X-Xi)...(X-Xn-l)Nn(x)与原函数f(x)之间的关系是f(x)=Nn(x)+Rn(x)式中，耳…]是函数f(x)的各阶差商，例如f[x0,xi,x2]=生_也X2-Vo表示函数
4、在点Xo、X]和X2处的二阶差商；而Ayl和Ayo分别为点Xo和X1处的一阶差分。Rn(x)称为余项，造成余项的原因是用差商代替了微商。通过余项的计算得原函数f(x)与逼近函数Nn(x)之间的误差。但是实际计算余项颇为困难,尤其是只给出函数表的情况下。然而，通过对余项的分析表明，余项的大小与插值节点的取法有关，所得的结论是:取与(欲插入的)X距离最近的儿个节点作为插值区间会使余项最小。此外，由差分误差传播的分析一稳定性问题的分析表明，对实际问题肓目追求高阶差分(或差商)并不可取。大多数给岀的函数表，或是全区间是等距的，或者虽然全区间不等距而子区间是等距的。式⑴适用于等距和不等距节点
5、的计算。当节点等距分布时，用差分代替差商从而可避免多次除法方便于计算。因而导出了牛顿前插公式和后插公式。在实际运作时，究竟要采用那一个公式，视插值点在插值区间的位置而定。设给定的节点是由小到大排序，即x00),这样，由式⑴便得牛顿前插公式为皿匕心刃+吉址+^^^小卄…+小门黑"门丹)(2)如果计算插值区间终点附近的函数值，可将插
6、值点次序由大到小排列，即xo,xi=xo・h,…,并令x=x°+ht,则t=(x-xo)/h(t<0),则由式(1)得出牛顿后插公式如下N”(x)=必+令+...+/(L」)△少(3)2牛顿插值法的应用为研究转炉炉衬在高温卜•被侵蚀的情况，需杳明转炉炉衬工作层在作业时的温度沿其厚度的分布。在一150t转炉上约位于钢水面F30mm沿炉衬工作层15,75,132,172和600mm处埋设5支热电偶测温。对本问题而言，所关心的是:曲测知高温范围而推断耐火材料软化带的厚度。由于工作层仅为600mm厚，以及测温条件的恶劣，故没有必要也不可能埋设更多的热电偶以获得较多点的温度。然而，既已获得5
7、个试验数据，除满足本问题需要外，不妨用它们开发另一个功用，即由此建立表述炉衬工作层的温度分布的插值曲线方程，进而推算转炉炉衬工作层的热积誉量(即恰值)，以用于转炉热平衡。该转炉第6炉次的出钢前，由上述部位所测得的5个温度读数，并取炉衬工作层表面x=0处的温度为1600°C(等于钢液温度)作为补充读数可得6个数据，按前述稳定性的思路，拟分成二段各建立英牛顿插值函数：x/mtt—阶差商二阶差商三阶差商016(X)0.()15135616266.670.0751182-29
