《有限元分析》课程作业

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1、《有限元分析》课程作业任课教师：徐亚兰学生姓名：陈新杰学号：13040120098班级：1304012时间：2016-01-05一、问题描述及分析问题：如图1所示，有一矩形平板，在右侧受到P=10KN/m的分布力，材料常数为：弹性模量；泊松比；板的厚度为t=0.1m；试按平面应力问题利用三角形与矩形单元分别计算各个节点位移及支座反力。P=10KN/m1m1m图1平面矩形结构的有限元分析分析：使用两种方案：一、基于3节点三角形单元的有限元建模，将矩形划分为两个3节点三角形单元；二、基于4节点矩形单元的有限元建模，使用一个4节点矩形单元。利用

2、MATLAB软件计算出各要求量，再将两种方案的计算结果进行比较、分析、得出结论。二、有限元建模及分析1、基于3节点三角形单元的有限元建模及分析（1）结构的离散化与编号如图2所示，将平面矩形结构分为两个3节点三角形单元。单元①三个节点的编号为1，2，4，单元②三个节点的编号为3，4，2，各个节点的位置坐标为，各个节点的位移（分别沿方向和方向）为。X②①y1432图2方案一：使用两个3节点三角形单元（2）各单元的刚度矩阵及刚度方程a.单元的几何和节点描述单元①有6个节点位移自由度（DOF）。将所有节点上的位移组成一个列阵，记作；同样，将所有节

3、点上的各个力也组成一个列阵，记作，则有同理，对于单元②，有b.单元的位移场描述对于单元①，设位移函数(1-1)由节点条件，在处，有(1-2)将式(1-1)代入节点条件式(1-2)中，可求出式（1-1）中待定系数，即(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)(1-7)(1-8)在式(1-3)~式(1-8)中(1-9)(1-10)上式中的符号(1,2,3)表示下标轮换，如同时更换。将单元①各节点的位置坐标代入得将系数式(1-3)~式(1-8)式代入(1-1)中，重写位移函数，并以节点位移的形式进行表示，有(1-11)令，则有形状函数矩阵(1-1

4、2)位移函数式(1-11)写成矩阵形式，有(1-13)对于单元②，过程同上，有形状函数矩阵(1-14)位移函数(1-15)c.单元的应变场描述对于单元①，应变函数(1-16)其中几何矩阵(1-17)对于单元②，应变方程(1-18)其中几何矩阵(1-19)d.单元的应力场描述(1-20)其中，弹性系数矩阵D(1)为(1-21)(1-22)其中应力函数矩阵S(1)为(1-23)应力方程为(1-24)对于单元②，过程同上。弹性系数矩阵D(2)为(1-25)应力函数矩阵S(2)为(1-26)应力方程为(1-27)e.单元的势能表达是单元刚度矩阵，

5、即(1-28)其中薄板厚度。将式(1-17)、式(1-21)代入式(1-29)，得到单元①的刚度阵计算得同理，得到单元②的刚度阵为将两个单元按节点位移所对应的位置进行组装，得到总体刚度矩阵为节点力系统的势能(计算结果在下面呈现)(4)边界条件的处理及方程求解边界条件为。因此，将针对节点2和节点3的位移求解，节点2和节点3对应总体刚度阵KK中的第3行到第6行、第3列到第6列，则需从KK中提出，置给k，然后生成对应的载荷列阵p，再采用高斯消去法进行求解。>>k=KK(3:6,3:6);>>p=[500;0;500;0];>>u=kpu=0.

6、00090.00010.0010-0.0002[将列排成了行]再计算支反力。在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力；先将上面得到的位移结果与边界条件的节点位移进行组合，得到整体的位移列阵U，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力，按照位置关系找出对应的支反力。>>U=[0;0;u;0;0]U=000.00090.00010.0010-0.000200[将列排成了行]>>P=KK*UP=-500-176.470650005000-500176.4706[将列排成了行]所以，节点1的支反力为，节点2的支反力为。

7、根据已求得的位移和支反力计算系统的势能。>>A=0.5*U'*KK*U-P'*UA=-0.4706(5）结果分析上述支反力计算结果满足静力平衡，验证了以上求解过程及MATLAB算法的正确性。2、基于四节点四边形单元的有限元建模及分析（1）结构的离散化与编号如图3所示一个4节点矩形单元，单元的节点位移共有8个自由度（DOF）。节点编号为1,2,3,4，各自的位置坐标为，各个节点的位移（分别沿方向和方向）为。Xy①4321图3方案二：使用一个4节点矩形单元（2）局部坐标系下单元的描述a.单元的几何和节点描述采用无量纲坐标其中。则单元四个节点的

8、几何位置为将所有节点上的位移组成一个列阵，记作q；同样，将所有节点上的各个力也组成一个列阵，记作F，则有b.单元的位移场描述设位移函数为由节点条件，在处，有将位移试函数代入节点条件中，求出待定