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1、染色问题(1)年级班姓名得分1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1234567893.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图(a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不
2、遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(a)(b)4.一个8´8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2´1的“骨牌”(形如)把象棋盘上的62个小格完全盖住?酽锕极額閉镇桧猪訣锥。5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方
3、体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。8.8´8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2´2的正方形和9个4´1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。———————————————答案——————————————————————1.把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29´31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位
4、置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。2.将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。3.图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到
5、小屋.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。4.不能.原因是每一个2´1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。5.中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有3´3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两
6、只马“互吃”.6.设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。ABDC下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.(1)若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2)若三角形DEF中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA、DB、DC
7、三条线段，其中必有两条同色.ABCDE(图2)ABCDE(图1)①若其中有两条是红色的,如DA、DB是红色的,则三角形DAB为第二个同色三角形(图1).贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB为红色三角形.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。综上所述,一定有两个同色三角形.7.甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.
8、显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过
