微分方程的简易解法及应用①

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1、．第l9卷第6期固原师专学报(自然科学版)Vo1．19No．6l998年11月JournalofGuyuanTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Nov．19986微分方程的简易解法及应用①金周宏(固原师专教务处．宁夏固原县．756000)摘要归纳总结了微分方程的简易解法·它对工程设计中的定量分析具有一定的意义·罟：荤中詈图法分类号0m一舫程二程做J务∥方经‘工上缸吖叫在力学和工程设计领域中．经常会遇到微分方程求解问题，但往往需要花费很大精力．在时间紧迫、任务繁重的情况下，就会影响工程设计进度和工程设计精度．因此．归纳、总结出一

2、些求解微分方程的简易解法．对工程设计定量分析环节的实施有一定的指导意义．1一阶微分方程解法【．1全微分方程F(x，y)dx+F：(x，y)dyo，且，式中(x，y)、F(x，y)是连续函数．全微分方程的通解为：(x，y)+JcF2~x,,)一(x．y)dx]dy=c例1解微分方程x2y。一y。一(y。一1)(2xy-1)=0解整理方程．得(2xy-y一1)dxq-(x一2xyq-1)dy=0又=啮0了B由通解，得J(2xy—y。-1)dx+Jc(x-2xy+1)一J(2xy—y，一I)dx]dy=c，x2y—xy一x+y=c，(x-y)(xy-1)一c．1．2变量分

3、离的微分方程F()dx+G(y)dy—o，其通解为fF(x)dx+(y)dy：c例2一质量为m的质点，沿直线运动，受阻力by作用，阻力是速度v的线性函数，而对时间t和位置都无关系．质点由静止出发，作用在质点上的力p—a-by．其运动的微分方程为m鲁一av．解分离变量，得一．取a—bv=u．dv一由t—o，v一0得v一詈(1一e一I)．设y轴为运动路线，则v—dy于是dyal—e一)，t_b．d当t=0，y一0时y一言t+(e一一1)．①收稿日期：l998—09—28作者；男，回族，1964年6月生宁夏海原县人．讲师第19卷第6期金周宏：微分方程的筒易解法及应用例3在

4、空气中竖直上抛物体，物体质量为m，引力为mg，取空气阻力p=b，v力砌体远度．y轴正向向上，运动微分方程为m=一mB—b。v求物体的上抛极限高度．解令g—nk，n：：方程化为=一n(k。+v：)+n一0．积分上式得1arc【g}+nt=C，设当时间t—o的韧速度为v。，则c一亡atg所以V~ktg(rmn2kt)．其中f=arct。vo．又V—d面ySUdY=ktg(r-n2kt)．a【取r一kt—u，亲一一n，dt一一，有y=[】nc。s(r—n)-lncosr)=[h1cos(r-nkt)3c当cos(r—n。kt)：】时，得y⋯=[】n]一】nsecr．1．3

5、齐次微分方程F-(x，y)dx+F2(x，y)dy—O，其中F-(x，y)及F(x，y)是x、Y的同恢的齐次函数．方程的解法为(1)取dy一一鲁篆；(2)以y=tx代入上式的等号右边，消去x后得(t)；(3)1nx+J=c；(4)以t=专代入上式得解．例4解方程y+x￡=xy譬解化方程为yzdx+xdy-xydy=0按解法(1)～(4)步，可得y—ce．1．4用换元法解微分方程有一些不属于前面讨论的微分方程，可以根据方程的类型，通过适当的“换元．即用简单的变量代替复杂的变量．使方程变为已知的求法求解，下面通过例题来说明它的运用．例5解方程d-Yx+ycosx=吉si

6、n2x解设t—sinx—d一面dt；可得c。“+ycosx—nxc∞x即dy．，=tdl由线性微分方程，可得y—e[e’(t-1)+el=(sinx一"+ce⋯．2二阶微分方程解法y一F(x)，解法(1)Y=，F(x)dx+cl(2)y=』[『F(x)dx]dx+c1x+C2例6圆板受轴对称荷载时，弹性曲面的微分方程是+{一=一V，当板受均布荷载q，板中心受集中荷载p时，V一等+P，求弹性曲面的挠度方程．(其中V一沿圆周单位长度内的剪力；D一圆板的刚度；=一，w一表示A点在z方向的挠度．)解将V代入弹性曲面方程，得擘+i1五dg：一一一]qix+甄P)．整理，得d旦

7、xrxd旦x“)]=一(警+甄P)固原师专学报(自然科学版)积分再积分．得=一一(—xlnx一{)+c，号+导，于是d忑w一+(2]nx-])一CTix一导所以w一+品(]nx-1)一孚-C2lnx·例7设E为材料的弹性摸量，i为粱裁面对中性轴的惯性矩，求挠度曲线的微分方程·解由材料力学知．EI坐dx*一-一q其中H表示剪力．El表示弯矩，EI表示转角．对上式三次积分t可得dayqx+d2y-—一警+x襞—一下qx~+qLx2一EIy一一百qx~十qLx3一x+c．当x一0时，挠度y一0，c一0，所以y一(一x‘+2Lx~-LSx)例8在竖向荷载作用下．拱的合理