数理统计(茆诗松版)第五章课件

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1、第五章统计量及其分布第88页F分布的性质1.若则FFmn~(,),1/FFnm~(,)2.当随机变量F∼F(m,n)时，对给定α(0<α<1)，称满足P(F≤F(m,n))=1)=1−α的1−αF1−(m,n)是自由度为m与n的F分布的11−α分α位数。例如F(4,5)5.19=0.953.由F分布的构造知F(n,m)=1/F(m,n)。11α1−αF(5,4)==0.05F(4,5)5.19见277页7题0.9521February2012第五章统计量及其分布第89页5.4.35.4.3tt分布分布定义5.4.3设随机变量X与X独立，12且X1∼N

2、(0,1),X2∼χχ2((nn)),则称,X1t=Xn2的分布为自由度为n的t分布，记为t∼t(n)。⎛⎞n+1其密度函数为n+1Γ⎜⎟−22⎝⎠2⎛⎞ypy()=+−⎜⎟1∞1时,t分布的数学期望存在

3、且为0；•n>2时，t分布的方差存在，且为n/(n−2)；•当自由度较大(如n≥30)时，t分布可以用正态分布N(0,1)近似。21February2012第五章统计量及其分布第92页0.40.30.2n=10.1n=20-3-2-1123t分布的图形(红色的是标准正态分布)21February2012第五章统计量及其分布第93页当随机变量t∼t(n)时，称满足P(t≤t(n))=1)=1−α1−α的t1−(n)是自由度为n的t分布的11−α分位数.α分位数t1−(n)可以从附表4中查到。α譬如n=10,α=0.05，那么从附表4上查得t(10)=t

4、(10)=1.8125.1−0.050.95由于t分布的密度函数关于0对称,故其分位数间有如下关系t(n)=−t(n)α1−αt(10)=-t(10)=-1.8125.0.050.9521February2012第五章统计量及其分布第94页5.4.45.4.4一些重要结论一些重要结论定理5.4.1设x,x,…,x是来自N(μ,σ2)的12n样本，其样本均值和样本方差分别为x=∑xi/n和s2=∑(x−x)2/(n−1)i则有(1)x与s2相互独立；(2)x∼N(μ,σ2/n)；(3)(n−1)s2/σ2∼χχ2((nn−1))。。见277页12题21

5、February2012第五章统计量及其分布第95页n2∑()xi−μi=12∼χ()n2σn2∑()xxi−i=12∼χ(1n−)2σ21February2012第五章统计量及其分布第96页推论5.4.1设x,x,…,x是来自N(μ,σ2)的12n样本，其样本均值和样本方差分别为x=∑xi/n和s2=∑(x−x)2/(n−1)i则有nX(−μ)~(1)tn−SnX(−μ)~(N0,1)σ21February2012第五章统计量及其分布第97页推论5.4.2设x,x,…,x是来自N(μ,σ2)的12m11样本，y,y,…,y是来自N(μ,σ2)的样1

6、2n22本，且此两样本相互独立，则有22s/σFF=x1~(1m−−,1n)22s/σy2特别，若22σ1=σ2，则F=s2/s2∼F(m−1,n−1)xy21February2012第五章统计量及其分布第98页推论5.4.3在推论5.4.2的记号下，设222σ1=σ2=σ，并记mn22(m−)1s2+(n−)1s2∑∑(xi−x)+(yi−y)2xyi==11is==wm+n−2m+n−2则(x−y)−(μ−μ)12~t(m+n−)211s+wmn21February2012第五章统计量及其分布第99页()XY−−−()μμ12~(N0,1)11σ

7、+nm(x−y)−(μ−μ)12~t(m+n−)211s+wmn见277页11题21February2012第五章统计量及其分布第100页作业：277页2，5，10，12,1321February2012第五章统计量及其分布第101页§§5.55.5充分统计量充分统计量5.5.1充分性的概念例5.5.1为研究某个运动员的打靶命中率θ，我们对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第三、六次未命中外，其余8次都命中。这样的观测结果包含了两种信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分别出现在第3次和第6次打靶上。21February2012第五章统

8、计量及其分布第102页第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。一般地，设我们对该运动员进行n次观测