分油问题的数学模型

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1、分油问题的优化模型摘要：在实际中，由于材料、资源等方而的限制会造成相关问题的解决。例如,分油是油瓶不够等等，这时需要利用已有的资源进行充分的利用，挖掘潜在价值对实际问题进行求解。木文针对分油问题，通过研究、分析、假设，运用逻辑推理演算，对问题的实质加以数学剖析建立相应的数学动态优化模型，从而从本质上使问题得以解决。动态优化模型经过逻辑思考的推理，又可将分油的简单问题运用到我们的实际生活中来，解决类似该类情况的问题。关键字：分油问题、逻辑推理、数学剖析、动态优化模型一、问题重述已知有一个装满10斤油的油瓶，另则有可装3斤油和7斤油的两个空油瓶,在没有秤的的前提下，试建立数

2、学模型如何用这3个油瓶将10斤油分成各为5斤油的两份。在油瓶不多的前提下完成不同情况下的分油问题，事实上，由于无足够多的油瓶，分油问题会遇到一定的瓶颈。因此一般以充分利用油瓶及合理分配的原则优化分油。二、问题分析动态优化模型的分析：(1)10斤油倒向7斤油瓶中；(2)7斤油倒向3斤油瓶；(3)3斤油瓶倒向10斤油瓶;(4)7斤油瓶倒向3斤油瓶;(5)3斤油倒倒向10斤油瓶；(6)7斤油瓶倒向3斤油瓶；(7)10斤油瓶倒向7斤油瓶；(8)7斤油瓶倒向3斤油瓶；(9)3斤油瓶倒向10斤油瓶。设x为7斤的油瓶，y为3斤的油瓶，z为10斤的油瓶。表1：分油的具体步骤如下操作步骤

3、x(7斤油瓶)y(3斤油瓶)z(10斤油瓶)z=100010(Z»x)703(X-y)433(y»z)406(X>y)136(y»z)109(x―y)019(zAx)712(x―y)532(y>z)505由表1知可建立一个三维空间直角坐标图，我们可以得出结论:(1)当点落在x轴上吋，表示3斤油瓶和10斤油瓶为空油瓶;(2)当点落在y轴上时，表示7斤油瓶和10斤油瓶为空油瓶;(1)当点落在z轴上时，表示3斤油瓶和7斤油瓶都为空油瓶；(2)当点落在xoz平面上时，表示3斤油瓶为空油瓶；(3)当点落在xoy平面上吋，表示10斤油瓶为空油瓶；(4)当点落在yoz平面上时，表示7

4、斤油瓶为空油瓶；(5)当点既不落在坐标轴上也不落在平面上时，三个油瓶均为空油瓶。用0rigin75软件画出如下三维空间坐标图：2.52.01.50.5107代0.03.0图1•三维坐标图只须从三维空间坐标图屮找出一条(0,0,10)至IJ(5,0,5)的路径，就是我们所需要的分油法；上表1的操作步骤就是路径的走法。三、模型假设1.假设油是在常温下保存不会发生任何的变质现象，且分油的过程中也是在常温下进行没有任何的外界干扰。2.假设三个油瓶都是完好无损的。3.假设10斤油瓶中准确装满10斤油。4.假设3斤油瓶和7斤油瓶都是准确装满油。5.假设每次倒油的过程中没有发生泄露，

5、溢出现象，即油没有任何的损失。6.假设每次倒油的过程中黏附在油瓶上的油都忽略不计。!1!(1)X：表示7斤油瓶；(2)y：表示3斤油瓶；(3)z：表示10斤油瓶；(4)表示第i次倒油吋，7斤油瓶中的油量；(5)X-：表示第，次倒油时，3斤油瓶中的油量；(6)Zj：表示第i次倒油时，10斤油瓶中的油量；(7)妁:表示第/次倒油时，7斤油瓶中的油的变化量；(8)儿:表示第i次倒油时,3斤油瓶中的油的变化量;(9)咛表示第i次倒油时，10斤油瓶中的油的变化量;(10)50二傀观心)：表示初始状态下各瓶中的油量；(11)升=(xi,yi,zi):表示状态z•下各瓶中的油量；(1

6、2)片=(£,儿,z“):表示末始状态下各瓶中的油量；(13)di=(乞w)：・表示状态i下各瓶中的油量变化。五、模型的建立与求解5.1.(动态优化模型)用有序数组(x,y,z)来反映分油整个过程的集合：5.={(xi9yi9zi)

7、%=0,0

8、y{<3;

9、zz

10、<10}由此可以得出状态转移规律n+仏……该式状态转移方程，表明

11、了本问题的状态转移关系。求＜.gD(/=1.2.3-n/),使耳wS按照状态转移方程的状态递归关系，再根据以下的多步决策问题就可得出解决方案。5.2.动态优化模型求解求解决策＜gD,使状态s^S据状态转移方程，从初始状态(0,0,0)经过几个阶段到达末状态片=(5,0,5)。由图1的三维空间图可知，我们不必考虑刁坐标轴上的变化，进而将三维转化为二维求解。求解决策＜gD,使状态s^S据状态转移方程，从初始状态50=(0,0)经过几个阶段到达末状态》=(5,0),则由ScienceWord画岀下图图2在图2中，决策变量％(坷,叫)运动一次表示