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1、2009~2010学年度髙三数学（人教版A版）第一轮复习资料第36讲空间向量及其应用一.【课标要求】（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，常握空间向量的正交分解及其坐标表示；③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④掌握空间向量的数暈积及其坐标表示，能运用向量的数暈积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量；②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④能用向量方法解决线线、线面
2、、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究儿何问题中的作用。二.【命题走向】本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对木讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测2010年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主耍方法，在复习时应加大这方面的训练力度。三.【要点精讲】1.空间向量的概念向量：在空I'可，我们把具有大小和方向的量叫做向
3、量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空I'可的平移。2.向量运算和运算率OB=OA4-AB=a--b~BA=OA-OB=a-b加法交换率：a+b=b+a.加法结合率：（万+万）+0二万+数乘分配率：2@+方）=加+：(b+c).b.说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接
4、的若干向量Z和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3.平行向量（共线向量）：如果表示空I'可向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。万平行于方记作a//b.注意：当我们说万、卩共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说万、b平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量Q（万工6）、b,a//b的充要条件是存在实数久使h=Aa注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a//b（办0）,则有b=Za,其中久是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数久，使b=Xa（万工0）,则有a//
5、b（若用此结论判断万、5所在直线平行，还需万（或5）上有一点不在5（或万）上）。⑵对于确定的2和几b=Aa表示空间与万平行或共线，长度为
6、27
7、,当久＞0时与万同向，当2v0吋与©反向的所有向量。⑶若直线l//a,Ae/,P为/上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导刁的表达式。推论：如果/为经过己知点A且平行于已知非零向量刁的直线，那么对任一点0,点P在直线/上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta①其中向量万叫做直线I的方向向量。在/上取AB=a,则①式可化为OP=（-t）OA+tOB.②当/=丄时，点P是线段的中点，贝9丽=丄（Q4-bO
8、B）.③22①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段4B的中点公式。注意：⑴表示式（*）、（**）既是表示式①，②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。3.向量与平面平行：如果表示向量万的有向线段所在直线与平面Q平行或万在G平面内,我们就说向量万平行于平面记作a//a.注意：向量a//a与直线a//a的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果两个向量厅、方不共线，则向量尸与向量X、5共面的充要条件是存在实数对x、y,使p=xa+yh.①注：与共线向量定理一样，此
9、定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面内的充要条件是存在有序实数对x、y,使MP=xMA+yMB,④或对空间任一-定点0,有OM+xMA+yMB.⑤在平面内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。①式叫做平面的向量表示式。又•••加二①^^^”⑷二^^一⑴^代入⑤，整理得OP=(1-x-y)OM+xOA+yOB.由于对于空间任意一点P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式),点P就在平面伽B内；对于平面曲B内瞥意一点P,都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量莎、MB(或不共线三点M、A、B)确定的空间平面的向量
10、参数方程，
