数学专题之——整除、统筹、尾数

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1、一、整除问题1，有三个连续的自然数，它们的平均数能分别被三个不同的质数整除。要使它们的和最小，这三个自然数分别是多少？1，解：三个连续自然数的平均数等于这三个自然数中间的一个数。要使这三个自然数的和最小，它们的平均数应最小。要使它们的平均数最小，能分别整除它们平均数的三个不同的质数应尽可能的小。我们不妨设这三个不同的质数是2、3、5。能分别被2、3、5整除的最小数是2×3×5=30。即所求的这三个自然数的平均数是30，也就是这三个自然数中间的一个数是30。故知，这三个自然数分别是29、30、31。2，一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他不小

2、心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是____元。2，解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除，则b＝2；由能被9整除的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3.故这笔账应是367.92元。3，两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B。

3、3，解：因为72=8×9，所以能被72整除就是要能同时被8和9整除。A275这个数的末位是5，不能被8整除，那么275B就一定能被8整除，可算得B=2；同样的道理，2752不能被9整除，那么A275就一定能被9整除，可算得A=4。 4，商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的5箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。问：商店剩下的一箱货物重多少千克？4，解：因为“其中一位顾客是另一位的2倍”，所以“这两位顾客的和是另一位的2+1=3倍，即买走的5箱应是3的倍数。而（15+16+18+19+20+31）÷3

4、余2，在六箱货物的重量中除以3余2的只有20，可知剩下的一箱就是20千克。 5，六位数47□□□□中的各位数字各不相同，它能被11整除，那么这样的六位数中最小一个应是多少？5，解：要求最小的一个，就从理论上最小的一个开始试算。先假设这个最小的六位数是470000，而470000÷11=42727……3，可知能被11整除的最小一个六位数是：470000+（11—3）=470008。为满足条件“各个数位上的数字各不相同”，又要“能被11整除”，只需在470008的基础上加上若干个11。即满足能被11整除的所有数的形式是：470008+11×（ ）。为了求出最小

5、的一个，（ ）内从1开始算起。当算到（ ）内为11时，第一次出现各个数位上的数字各不相同，是：470129，即为所求满足条件的最小的一个。二、统筹问题1，烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。分析：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要1+10=11分钟。有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？2，分析

6、：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2（公升）；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5（公升）．为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于　　137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油　　10×27+5×1=275（公升）用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？分析：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，

7、这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？解：我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。4，甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。分析：所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和，由于各自用水

8、时间是固定的，所以只能想办法减少等待的时间，即应该安排用水时间少的