半线性偏微分方程多解计算新算法的分析

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1、—]分类号Q24至．垫学校代码!Q墨垒2密级学号2QQ921Q!!Q§1半线性偏微分方程多解计算新算法的研究Thestudyofanewmethodforsolvingmultiplesolutionsofsemilinearpartialdifferentialequations研究生姓名：易雯帆指导教师姓名、职称：谢资清教授学科专业：计算数学研究方向：偏微分方程数值解湖南师范大学学位评定委员会办公室二零一二年三月1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2、．．．．．．．．．。．半线性偏微分方程多解计算新算法的研究1．引言51．1前言考虑非线性方程F(u)=0，(1-1)的多解问题，其中F是u—V上关于札Fr6chet可导的非线性算子，u、y是Hilbert空间。半线性偏微分方程边值问题经常出现在科学和工程领域中，由于其充分考虑到空间、时间、时滞的影响，从而能更准确地反映实际问题。但这类方程由于带非线性项而往往有多个甚至无穷多个解，其中有些解稳定，有些解不稳定，不稳定的解对应物理上的某种激发态，在实际应用中具有重要意义。近三十年来，半线性偏微分方程多解问题的理论

3、研究成为基础数学领域的热点问题。然而，高Morse指标的临界点具有多重性和不稳定性，如何从计算上得到这些问题的解具有极大的挑战性。求解此类问题的最大困难在于如何用稳定的方法计算不稳定的解，而且往往需要求解大型非线性代数方程组。当假定方程组只有唯一解(即稳定解)时，学者们已经研究了多种数值方法，比如具有二阶局部收敛的牛顿法等各种(单调)迭代算法。另一方面，随着各类科学技术的发展与应用，比如天体物理、激光、超导、量子力学等，激发态对应的不稳定多解越来越受到人们的关注。近年来，人们提出了一些方法，如山路算法(MPA

4、)、高环绕算法(HLA)、局部极小极大法(LMM)和搜索延拓法(SEM)等，但这些方法各有其优点和局限性。山路算法(MPA)是由Y．S．Choi和P_J．Mckenna【10]于1993年提出的，一般地此算法只能找到Morse指标为0或l的解。当非线性项关于u是奇函数时，MPA通过区域的对称性也可找到某些变号解。为了得到变号解，Z．H．Ding、D．Costa和G．Chen在1999年提出了高环绕算法(HLA)[13]。此算法在第一水平上采用带约束的最大化，在第二硕士学位论文水平上采用局部最小化。数值实验表明

5、，HLA最多能得到两个变号解。如果不假定非线性项是奇的和区域对称性，HLA最多能得到三个解。局部极小极大算法(LMM)[20]一[21]是Y．Li和J．zhou为寻找一般Morse指标的临界点而设计的一种新算法。算法只要求在第一水平上的一个无约束最大化和第二水平上的局部最小化。因此相比于传统的极小极大定理，此算法在数值计算上更具有构造性和可操作性，并能计算某些高Morse指标的解。这几种方法都必须知道解的某些局部性质，且基于变分结构的存在。山路定理或极小极大定理在一般的框架中给出了多解的存在性证明，但要求在两

6、个无穷集合中求极小或极大问题，这如同大海捞针，而且在数值计算方面来说也是不可能的，因此现代变分理论并不能给上述几种方法提供相应的理论依据。且由于多数算法中都是利用最速下降法来寻求局部极小值，从而至多只有线性收敛。为了突破因基于山路定理和极小极大定理的上述算法所带来的限制，2004年陈传淼和谢资清等提出了一套全新的多解计算理论和方法：搜索延拓算法(sEM)[4】-[5]．此算法在三层子空间&。c&c曲中进行，用少数几个特征基的线性组合作为搜索所有解的初值，然后利用一种谨慎而有效的延拓法和有限元法迭代完成精密化计

7、算。此算法对多解的结构和分布进行了较系统的分析，在文献[5]中，巧妙地运用“紧性加反证”的思想对计算进行了系统的理论分析，可计算任意高的Morse指标的变频解。但随着Morse指标的逐渐提高，变频解的峰会越来越多，峰尖和峰谷也越来越细。因此，变频解跳跃急剧，数值计算达不到所要求的精度。如要计算出这些变频解，需要将网格充分加密，使得计算量猛增。之后，基于求根的大范围算法应沿着Ne砒on方向的认识，陈传淼教授等提出求非线性方程组所有根的Newton场线法[19]。并引入求解非线性方程组(1—1)的Ne毗on场线微

8、分方程让。(t)=一(DF(u))一1F(u)(1—2)在m重根u+的中心场域中任取初始点uo，证明了用向前Euler格式得到的解序列札。一定收敛到此根，故场线法大范围收敛。通过采用投入多个初值随机撤点的办法，设置与问题维数和原方程具体性质无关的可计算参量追踪根和识别奇点，自适应地求出尽可能多的解。2]半线性偏微分方程多解计算新算法的研究若随机地投入大量的初始点，此方法按某种确定的概率收敛。受搜索延