高考球例题复习精讲(答案版)

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1、心中有梦，美丽就不再遥远。典型例题1——球的截面例1球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径．解：∵，，，∴，是以为斜边的直角三角形．∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，又球心到截面的距离为，∴，得．∴球的表面积为．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个

2、量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．【练习】过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．由条件可抓住是正四面体，、、、为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点、、的截面圆半径，所以得．典型例题2——球面距离例2过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（　　）．A．有且只有一个　B．一个或无穷多个C．无数个　　　　D．以上均不正确分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B．例3　

3、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，求这个球的半径．分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为，小圆的半径为，则，∴．如图所示，设三点、、，为球心，．又∵，∴是等边三角形，同样，、都是等边三角形，得9/9心中有梦，美丽就不再遥远。为等边三角形，边长等于球半径．为的外接圆半径，，．说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．例4　、是半径为的球的球面上

4、两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？分析：、是球面上两点，球面距离为，转化为球心角，从而，由关系式，越小，越大，是过、的球的截面圆的半径，所以为圆的直径，最小．解：∵球面上、两点的球面的距离为．∴，∴．当成为圆的直径时，取最小值，此时，取最大值，，即球心与过、的截面圆距离最大值为．说明：利用关系式不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径与球心到截面的距离之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角有关，而球心角又直接与长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基

5、本线索．典型例题3——其它问题例5．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．=．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量

6、半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为，正方体的棱长为，它们的体积均为，则由，，由得．9/9心中有梦，美丽就不再遥远。．．，即．典型例题4——球与几何体的切、接问题例7　一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．解：如图作轴截面，设球未取出时水面高，球取出后，水面高∵，，

7、则以为底面直径的圆锥容积为，球取出后水面下降到，水体积为．又，则，解得．例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体的中心为，的中心为，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设，正四面体的一个面的面积为．依题意得，又即．所以．．说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切

8、球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径(为正四面体的高)，且外接球的半径．9/9心中有梦，美丽就不再遥远。例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．分析：关键在于能根据要求