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《人教版初中《第13章正弦定理与余弦定理》竞赛专题复习含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第13章正弦定理与余弦定理13.1.1**已知点P是△/3C内一点，使得ZPAB=ZPBC=ZPCA=a.求证：一—=siira111=++sin2Asin2Bsin2C解析如图，设“ABC的三边为a、b、c,对应角分别为厶、ZE、ZC,ZBPC=180°-a-（ZC-a）=l80°-ZC,同理ZCPA=SO°-ZA,厶PB=180。一ZB.蚩仝,故BP-%,同理go晋，必理号，+ABsin〃sin/?CsinASgp・AP+BC・BP+C4Osina由止弦定理,heacah）——++2sinJsin5sinCsin—S△磁（尙+%钿+——；一）sin2a
2、・sin"C于是亠二snra111_sin2z4+sin2^+sin2C*13」.2**在厶ABC的/C及BC边上分别取点X、Y,使Z/B¥=ZE4C,ZAYB=ZBXC,XC=YB,求△/3C的所有内角.解析如图，易知ZC=ZAYB-ZYAC=ZBXC-ZABX=ZBAC,AB=BC.又由正弓玄定理，sinABAX=—sinZ^y^=—sinABXC=sinAXBC.ABBC于是ZBHY=ZXBC（易见Z必Y+ZA^Cvl80。），^LABAC=AABC,BC=AC.于是△/BC为正三角形，各内角均为60。・13.13★★★已知凸四边形ABCD,AC丄BD,A
3、B、BC、CD、D4上分别有点F、G、H、E,4B丄FD,3C丄DG,CD丄BH,4DA.BE,求证：FH、GE、MC共点.解析如图，设△/3D、△BCD垂心分别为M、N,FH与4C交于K,EG与AC交于K'.A由正弦定理及四点共圆，有MK_sinZHFD_sinZHBD_sinZDCA~MF~sinZMKF~sinZMKF~sinZMKF'NK_sinZFHB_sinZFDB_sinZBAC~NH~sinANKH~sinAMKF~sinAMKF'工曰MKMFsinZDCAAMJZE==.NKNHsinABACCN同理竺7=竺，得K与K‘重合，即FH、GE、/C
4、共点.NK'CN13.1.4★★★已知UABCD,E在EC上，AE.DC延长后交于F,O是△ECF的外心（在△ECF内）,若B、0、C、D共圆，则AD=FD.解析如图，玫乙CBO=ZCDO=8,ZBCO=a,乙OFD=卩・作OM丄BC,ON1CF,M、N分别是CE、CF之屮点.易知BM_BE+EM竺+1二竺+1二匹辺-1二空-1二匹+U竺+1=型CMECECCECFCFNFNF[i0nBOcos。DOcos0丁HBODO此即=，于是=——・COcos0OFcos0cosacosp又由正弦定理竺=CO_=FO_=DO,于是tana=tan0,a*,ABOC/DO
5、F,故sin<7sin&sin&sin[}AD=BC=DF.AC13.1.5*★有一个凸四边形ABCD,顶点均在一圆周上，且=BC=3.CD=4,D4=5,求一-BD的值.解析由正弦定理知s△磁•二咚，英屮0、b、C为三边长，R为外接圆半径.于是由S'ABC+S^ACD~S^ARD+S4RCD并考虑4个三角形有共同的外接圆，故有AB・BC・C4+CD・D4・C4=AB・AD・BD+BC・CD・BD.Jf7II代入数字，得6C4+20W0BD+12DD,于是——二一・BD1313.1.6**★已知凸卩4边形4BCD,对角线交于P,BP=DP,过P的一条直线分別交4
6、B、CQ于G、H,过尸的另一条直线分别交AD.BC于E、F,GF、助分别交于M、N,求证：PM=PN.解析如图，设好Z1-Z6各角.由BP=PDS^A3C=S^ACD,故ABBC-sin(Zl+Z2)=ADCD-sin(Z3+Z4),由正弦不定理，知止式可改为sinZSsinZl^sinZlsinZZ^于是也也抽(公+Z4)=sin(Z3+Z4)sin(Zl+Z2)sinZ3sinZ4sinZ5sinZ6,此即血•〃Dsin(Z3+Z4)/G倂血0+Z2)，两边同时除去sinZlsinZ2PEPHPGPFsin(Z5+Z6),即得生丝=丑辿，此即竺=竺，故PM=
7、PN.S^PGFS、pehFMPN13.1.7*★证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形MCQ的对角线交于F,又设SPB=&,则cAD2+BC2-AB2-CD2cos6=.2ACBD解析如图，由余弦定理，AB2=AP2+BP2-2AP-BPcos0,CD2=CP2+DP2-2CP•DPcos0,又BC2=BP1+CP1一2BP•CPcos(l80°-6)=BP2+CP2+2BP•CPcos&,AD1=AP2+DP2+2AP•DPcos0,所以AD2+BC2-AB2-CD2=2(4P•DP+BP•CP+CP•DP+4P•BP)cos&=2AC•BD-cos0.
8、因此结论成立.13.1.
