对偶求解体系

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1、课程名称：现代计算力学课程编号：课程类型：非学位课考核方式：考试、考查学科专业：结构工程年级：研一姓名：邢晨鹏学号：10076130065河北工程大学2013～2014学年第二学期研究生课程论文报告课程论文评语：成绩评阅教师签名评阅日期年月日对偶求解体系及其精细积分法学院：土木工程学院专业：结构工程姓名：邢晨鹏学号：10076130065摘要：本文主要介绍了哈密顿体系的求解步骤，将哈密顿求解体系推广应用于9/9弹性地基上的铁摩辛柯梁问题。首先导出了梁的总是能，然后采用拉格朗日函数导出拉格朗日方程，最后提出哈密顿函数及哈密顿正则方程。弹性

2、地基上的梁的哈密顿理论成果将为研究铁摩辛柯里梁解析解和有限元解提供新的有效工具。关键词：哈密顿求解体系；拉格朗日方程；对偶方程；变分原理；精细积分法；正则方程Abstract:ThispapermainlyintroducesthesolutionprocedureofHamiltoniansystem,theHamiltoniansolutionsystemisappliedtotheelasticfoundationonelasticTimoshenkoproblem.Firstlydeducedbeamcanalways,then

3、theLagrangefunctiontoderivetheLagrangeequation,thefinalHamiltonianandHamiltoniancanonicalequationisproposed.Hamiltoniantheory.HamiltoniantheoryofbeamonelasticfoundationforthestudyoftheTimoshenkobeamanalyticalsolutionprovidesaneweffectivetoolandfiniteelementsolution。Keywo

4、rds:TheHamiltoniansolutionsystem;Lagrangeequation;dualequation;variationalprinciple;preciseintegrationmethod;canonicalequation1哈密顿对偶求解体系的特点哈密顿力学的求解体系是一套数学结构体系，并不局限于动力学。把动力学的哈密顿体系引入到弹性体系是很自然地事情，都可以把他们看做是单连续坐标体系，差别在于弹性体系的但连续坐标是空间的，而动力学则是时间。在这种情况下，弹性体系的但连续坐标体系为两段边值问题，而动力学是时

5、间域内的初值问题。分析力学中的哈密顿力学理论不局限于线弹性体系问题，现在用于处理线弹性力学问题，并且汉密顿力学理论对于非线性弹性体系也是适用的。哈密顿正则方程研究有势系统，首先就才用哈密顿变量来描述系统，建立描述函数它蕴含了有势系统的全部支力学行为的信息，柯通过对哈密顿方程的解析开发出来。哈密顿方程式个变量一阶长微分方程组。具有相当对称的形式，因此，哈密顿对偶求解体系的优美对称形式，为许多解析研究的起点。本文将哈密顿求解体系推广应用于弹性地基梁。弹性地基梁在土木工程中有非常广泛的应用。许多学者对弹性地基上的Timoshenko梁的弯曲问

6、题做过研究。由于弹性地基上梁的弯曲问题的计算公式比较繁琐，人们更关心简便的数值计算方法。本文导出了Timoshenko梁弯曲问题的哈密顿对偶求解体系，将梁的控制微分方程转化为一阶微分方程。具体分为三部分：（1）梁的总时能，(2)拉格朗日函数和拉格朗日方程，（3）哈密顿函数及哈密顿正则方程。2具体力学问题的哈密顿对偶方程——弹性地基上的铁摩辛柯梁如图所示的Timoshenko9/9梁，计及横向剪切变形的影响和振动是梁的转动效应，仍然保持弯曲梁时梁的横截面保持为平面和梁的纵向前卫互不挤压两个假定。梁放置在弹性地基上，和分别为弹性地基的弹性系

7、数。和分别为作用在梁上的分布荷载和分布力偶矩。图1弹性地基梁2.1梁的总势能取直角坐标系，轴为截面形心轴，轴和轴为截面主惯性轴。梁长为，材料的弹性模量和剪切模量分别为和。梁上作用分布荷载和分布弯矩。用梁轴线的挠度和横截面的转角两个广义位移表示梁内任一点沿轴、轴和轴位移分别为：（1）由弹性力学公式中的几何方程，可以求出梁的应变为：（2）上式中圆点表示对求倒数。铁摩辛柯梁的总势能可表示成：（3）式中,为梁的见面面积，,为梁截面绕轴的惯性矩，为梁截面的横向剪切变形系数，为梁截面的等效剪切弯矩。2.2拉格朗日函数和拉格朗日方程上式中被积函数就是

8、弹性地基上梁的拉格朗日函数：9/9（4）记：，，,,,则上式可写为：（5）相应的拉格朗日方程为：（6）上式可以写成：（7）2.3哈密顿函数及哈密顿正则方程为了将方程导入哈密顿对偶体系，首先按照勒让德变换的规