高中数学第2章推理与证明22直接证明与间接证明221综合法和分析法互动课堂学

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1、2.2.1综合法和分析法互动课堂疏导引导1.综合法与分析法的思维特点分析法是从命题的结论出发，分析使结论成立的充分条件.若能够肯定这些条件都已具备，就可以判定结论是正确的.分析法的特点：有些题目用一般方法较难入手吋，可以用分析法探索解题思路，然后再倒回去，得到问题的解决；也可以用分析法直接书写解题过程，步骤要清处，书写要严格.综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决.综合法的特点：广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法.分析法是和综合法相比较而清晰的.综合法逐步推求已知条件的必

2、要条件.而分析法步步逆向寻求未知事项成立的充分条件，所以分析法和综合法从思维过程看是互逆的,叙述形式也有区别.一-般说来，当题目已知条件较少，发展已知较困难时，可逆向思考，由果索因，用分析法解决.一般地，对于命题“若A则D”用综合法证明时,思考过程可表示为：综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演达到D的途径，但由A推演出的川间结论未必唯一，如B、B】、B2等，可由B、Bi、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、G、G、G、G等.最终，能有一个（或多个）可推演出结论D即可.用分析法思考数学问题的顺序可表

3、解为：（对于命题“若A则D”）—C2盼B严分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据，如C、G、C2等,再寻求C、G、C2的论据，如B、Bi、B2、B3、Bn等，继而寻求B、B】、B2、B3>B4的论据，如果其中之一B的论据恰为已知条件，于是命题已经得证.2.应用分析法和综合法证明问题需注意以下问题（1）应用综合法时，应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后（它基于题设或己知的真命题），再依次由它得出一系列的命题（或判断），其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的），且最后一个必须包

4、含我们要证明的命题的结论时，命题得证.同分析法一样，并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到.当然，在较多地积累一些经验,掌握一些证法之后,可较为顺利地得到证明的思路.而在证明的叙述时，直接叙述这条思路就够了.（2）应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断（或命题）都正确，各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考察，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所

5、需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件），才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子.(3)综合法和分析法是直接证明屮最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式,在实际证明命题吋，应当把分析法与综合法联合起来运用，即当遇到较难的新命题吋，应当先用分析法來探求解法，然后将找到的解法用综合法叙述出來.这样，可以培养我们逻辑思维的能力和数学论证的能力，使我们知道应该从何处入手，并明了为什么要这样证明的理由，而不至于盲目揣测,更不至于束手无策.规律总结1.综合法证明的方法是“执因索果”.此法的特点是表述简

6、单，条理清楚.2.在解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文学语言转换为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要细致分析•把问题中的隐含条件明确表示出來.3.分析法证明数学问题是“执果索因”，便于解题思路的探录.4.使用分析法时要把握三点：(1)寻找使命题成立的充分条件吋，往往先寻找使命题成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否成立.(2)分析法和综合法要结合起來使用，也就是说“两头凑”，会使问题轻易解决.活学巧用例1如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形,PA丄底面ABCD,求证：PC丄BD.证明：

7、(综合法)VPA是平面ABCD的垂线,PC是平面ABCD的斜线，如图连结AC.BD,则AC是PC在底面ABCD内的射影.又・・•四边形ABCD为正方形，・・・AC丄BD.故PC丄BD.点评：本例图形具有很多性质，从不同的审视角度去分析，可以得到多个证明方法，如可以转化为线面垂直來证线线垂直，也可以用向量來证明(因为图形中有AB、AD、PA两两垂直的基向量)等.例2已知a>b>0,求证：4~a-4hb>0,b

8、b—2b，即0v-~vd-b,-<-lci—b.点评:综合法从正确地选择已知其为真实的命题出发,依次推出一系列的真实命题，最后达到我们所要证明的结论.在用综合法论证命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能够想到从哪里起步•我们一般的处理方法,是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，rh已知逐渐地引导到结论.例3已知a、b、