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2、百度首页登录加入VIP意见反馈下载客户端2/17/2019（全）基本不等式应用，利用基本不等式求最值的技巧，题型分析-百度文库基本不等式应用首页一．基本分类不等式精品内容申请认证机构合作频道专区百度智慧课堂百度教育VIP221.（1）若a,bÎR，则a2+b2³2ab(2)若a,bÎR，则ab£a+b（当且仅当a=b时取“=”）百度文库教育专区高中教育数学高一数学2*a+b*2.(1)若a,bÎR，则³ab(2)若a,bÎR，则a+b³2ab（当且仅当a=b时取“=”）22(3)
3、若*æa+böa,bÎR，则ab£ç÷(当且仅当a=b时取“=”）è2ø113.若x>0，则x+³2(当且仅当x=1时取“=”）;若x<0，则x+£-2(当且仅当x=-1时取“=”）xx若x¹0，则111a=b时取“=”）x+³2即x+³2或x+£-2(当且仅当xxxab3.若ab>0，则+³2(当且仅当a=b时取“=”）baababab若ab¹0，则+³2即+³2或+£-2(当且仅当a=b时取“=”）bababa224.若a+b2a+ba,bÎR，则()£（当且仅当a=b时取“=”）22注：（1）当两个正数的积为定
4、植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域211（1）y＝3x＋2（2）y＝x＋2xx2121解：（1）y＝3x＋2≥23x·2＝6 ∴值域为[6，+∞）2x2x11（2）当x＞0时，y＝x＋≥2x·＝2；xx111当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2x·=－2xxx∴值域为（
5、－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项51例1：已知x<4，求函数y=4x-2+4x-5的最大值。1解：因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项，4x-551æ1ö£-2+3=1Qx<,5-4x>0，y=4x-2+=-ç5-4x+÷+344x-5è5-4xø1当且仅当5-4x=54xx=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1。-，即评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数https://wenku.baidu
6、.com/view/2eb4a4d96f1aff00bed51ead.html1/62/17/2019（全）基本不等式应用，利用基本不等式求最值的技巧，题型分析-百度文库例1.当时，求y=x(8-2x)的最大值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，y=x(8-2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从
7、而可利用基本不等式求最大值。3变式：设00∴2y=4x(3-2x)=2×2x(3-2x)£2çèçè2÷ø÷ø=23æ3ö当且仅当2x=3-2x,即x=Îç0,÷时等号成立。4è2ø技巧三：分离2x+7x+10例3.求y=(x>-1)的值域。x+1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。4当,即时,y³2（x+1)´+5=9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。x+1技巧四：换元解析
8、二：本2题看似无法运用基2本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。(t-1)+7(t-1）+10t+5t+44y===t++5ttt4当,即t=时,y³2t´+5=9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y=mg(x)++B(A>0,B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。g(x)a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)=x+的单调性。x
9、2x+5例：求函数y=的值域。2x+42112x+52解：令x+4=t(t³2)，则y=x2+4=x+4+x2+4=t+t(t³2)11因t>0,t×=1，但t=解得t=±1不在区间[2,+¥)，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为y=t+在区间[1,+¥)单调递增，所以在其子区间[2,+¥)为单调递增函数，故y³。t2é5ö所以，所求函数的
