拉氏轉換與自動控制關聯性

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3、解拉式轉換的使用方法，最後也提到利用拉式轉換解線性偏微分方程式的步驟，如此更能有效的應用這些工具來達成需要的目的。關鍵詞：拉式轉換(Laplacetransform)，拉式方程式(Laplace'sequation)。一、前言科學常藉著數學來解決或推演一些複雜的問題，因此從古至今科學家在數學方面也具有即高的成就，自動控制的線性常微分方程式若以時間為參數的方式來解，過程較為複雜且困難，若能利用拉氏轉換將時間參數轉為s參數，在數學的計算方面，即可相當的便利與容易，且透過拉氏轉換，一個系統的暫態與穩態響應也可一次求得，對於結果

4、的求得可說是便利許多。二、內容拉普拉斯，一位法國的數學家及天文學家，1749年3月23日生於法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，1827年3月5日卒於巴黎，涉略很廣，天文、數學、物理、化學，都有相當的研究及貢獻，但主要研究天體力學和物理學，認為數學只是一種解決問題工具，不過卻也因此發明了許多解決問題的數學方法，像是拉式轉換(Laplacetransform)與拉式方程式(Laplace'sequation)，成就不在話下。拉式轉換的定義:已知一函數f(t)以及一有限實數σ，且f(t)滿足下列條件：則f(t)之拉式轉換定義為

5、其中F(s)為複變數s之函數由F(s)求f(t)之運算即為反拉式轉換，可表示為基本函數之拉式轉換：f(t)L[f(t)]f(t)L[f(t)]11/se^αt1/(s-a)t1/s^2cosαts/(s^2+a^2)t^22!/s^3sinαta/(s^2+a^2)t^33!/s^4coshαts/(s^2-a^2)t^nn!/s^n+1sinhαta/(s^2-a^2)拉式轉換定理:1.線性定理L[k1f1(t)+k2f2(t)]=k1F1(s)+K2F2(s)其中k1，k2為常數2.微分定理L[f’(t)]=sF(s

6、)-f(0)(n-1)(n)L[f’’(t)]=(s^s)F(s)-sf(0)-f’(0)L[f]=(s^n)F(s)-[s^(n-1)]-[s^(n-2)]f’(0)……-f(0)3.積分定理4.複數的微分L[(t^n)f(t)]=[(-1)^n](d^n)F(s)/ds^n其中n=1,2,3,……5.複數的積分L[f(t)/t]=F(λ)dλ6.複數移位定理(shiftins)L[e^(αt)f(t)]=F(s-a)7.時間移位定理(shiftintime)L[f(t-a)us(t-a)]=e^(-αs)F(s)8.

7、時間刻度轉換L[f(t/a)]=αF(αs)9.初值定理(initialvaluetheorem)10.終值定理(finalvaluetheoem)：若sF(s)在虛軸和s-平面右半面為可解析，則11.實數迴旋定理(Realconvolutiontheorem)L[f1(t)*f2(t)]=F1(s)F2(s)-1或f1(t)*f2(t)=L[F1(s)F2(s)]當以拉氏轉換來解線性常微分方程式時，可藉由以下步驟，以便更易於解題1.對原方程式取拉式轉換，使成為以s為變數的代數式。2.將初始條件代入，並解出輸出變數。3.

8、展開成部分分式展開式。4.求反拉式轉換，即得。三、結論當解決一些問題時，常會遇到某些無法直接去運算或難以運算的障礙，若能藉著一些有效的工具，在時間的效率上並訂可以大大的改進，就像是線性常微分方程式，若能藉著拉式轉換微運算工具，在解題上必可迎刃而解。四、參考文獻1.蘇德仁博士校閱.劉炳麟/蔡春益編著.自動控制.條碼號1