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《文科高三数学第11讲：利用导函数解决恒成立与零点问题（学生版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第〃讲利用导為褻解决惟战宦鸟零支问麵作业完成情汨知识梳理）一、函数的极值函数/（无）在点％附近有定义，如果对％附近的所有点都有/（兀）V/（兀。），则称/（%）是函数的一个极大值，记作y极人侑寸（兀。）如果对x°附近的所有点都有/（x）＞/（x0）,则称/（%）是函数的一个极小值，记作y极小值才（％）极大值与极小值统称为极值，称％为极值点.二、求函数的极值的三个基本步骤（1）求导数/'（兀）；（2）求方程广（兀）=0的所有实数根；（3）检验广⑴在方程广⑴=0的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则/（兀）在这个根处取得极大（小）值.三、求函数最值（1）求函数/（
2、兀）在区间（。,历上的极值；（2）将极值与区间端点函数值faf（b）比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.四、不等式的恒成立问题（1）若兀wD,/（x）＞tn在£＞上恒成立，等价于/（X）在£＞上的最小值/（兀）斷＞加成立.（2）若兀丘D,f（x）＜m在Z）上恒成立，等价于/（x）在D上的最大值/（%）niaxV加成立.(3)对任意xeD,都有f(x),都有/(x)>g(x)成立，等价于构造F(x)=/(P-g(x),F(x)min>0(5)对任意gwD
3、,都有/CxJSga)成立的充要条件是/(%)max<^(x)min・(6)对任意西虽GD,都有/(西)$gg)成立的充要条件是/(兀)min三g(兀)max-五、不等式的能成立(存在性)问题(1)若存在%gD,使得/(x)>m在D上能成立，等价于/(力在D上的最大值/(叽X>加成立.(2)若存在xgD,使得/(x),使得/(x)g(x)成立，等价于构造F(兀)=/(x)-g(x),F
4、(x)nm>0.(5)若在xpx2gD,至少存在一个X,,兀2使得/(^)g(x2)成立，等价于/(兀)在£>上的最小值/(x)inin>g(兀)斷在E上的最小值.教学重•难点)1.恒成立问题中分离变量法的应用2.讨论零点问题时注意函数是否是渐近类型的增减1.最值问题与恒成立或存在性问题的结合特色讲解)【例1】若函数f(
5、x)=x3-ax2+在(0,2)内单调递减，则实数。的取值范围是()A.3B.a=3C.oW3D..0<67<3解析：函数在(0,2)上单调递减的含义是广(兀)在(0,2)上恒小于等于0,所以属于恒成立问33题，可以采用分离变量的方法，即fM=3x2-2ax<0^>a>-xi这样可以理解为求一兀22在(0,2)上的最大值答案：A【例2】已知函数/(x)=
6、x3+x24-ar-5,若/(x)在[1,+呵上是单调增函数，则。的収值范围是・解析：函数在[1,+呵上单调递增的含义是fx)在[1,+切恒大于等于0,所以属于恒成立问题，可以采用分离变量的方法，即fx)=x2
7、+2x+a>0^>a>-x2-2x，这样可以理解为求一/一2兀在[1，+g)上的最大值，答案：au[-3,+oo)【例3】若a>2,则函数/(x)=x3-3^+3在区间(0,2)上零点的个数为解析：求导可知/©)二3兀2—3a,令/(%)=0可得，x=±4a,所以/(兀)在(-co,-丽),(石,+8)上单调递增，在(一禹,乔)上单调递减。又/(0)=3,/(2)=8-6d+3=11-6dv0,/(&)=ay[a-3ay[a+3=-2ay[ci+3<0所以/(x)在(0,2)上只有1个零点答案：1个【例4】已知函数f(兀)=tzlnx-yx2R且a工0).（I）求于（
8、兀）的单调区间;（II）是否存在实数使得对任意的XG［l,+oo）,都有fix）<0?若存在，求。的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：（I）/（X）的定义域为（0,4-00）.门心十亠XX当QV0时，在区间(0,+oo)±,/!(x)<0.所以/（兀）的单调递减区间是（o,+oe）.当。>0时，令/•（%）=o得x=4^i或x--[a(舍).函数/（X）,fx）随X的变化如下:（0,需）(丽,+00)广⑴+0—/（X）/极大值所以/（x）的单调递增区间是（0,、历），单调递减区间是（丽，十co）.综上所述，当a
