排列组合着色问题

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1、10/10排列组合专题之染色问题【引例】引例1．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案．引例2．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）【分析】首先栽种第1部分，有种栽种方法；然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示），此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题

2、型的解法做一深入探讨。【剖析】为了深入探讨这一题型的解法，（1）让我们首先用m（m≥3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准：①1和3涂同一种颜色，有m种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法,∴共有种涂法。②1和3涂不同种颜色，有种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法，∴共有种涂法。综合①和②，共有+种涂法。（２）下面来分析引例1以A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准：①A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法；B、D、F

3、各有3种栽法，∴共有4×3×3×3＝108种栽法。②A、C、E栽种两种植物,有种栽法（是4种植物中选出2种，是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，是选出的2种植物排列），B、D、F共有3×2×2种栽法（注：若A、C栽种同一种植物，则B有3种栽法，D、F各有2种栽法），③A、C、E栽种3种植物，有种栽法；B、D、F各有2种栽法，10/10∴共有×2×2×2＝192种栽法。综合①、②、③，共有108+432+192=732种栽法。（３）上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P1，P2，…，Pn，共n（n为偶数）个扇形，用m种不同的

4、颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。（4）那么，“设一个圆分成P1，P2，…，Pn，共n（n为奇数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的解题思路又如何呢？【分析】对扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m－1种涂色方法，扇形P3也有m－1种涂色方法，…………扇形Pn也有m－1

5、种涂色方法．于是，共有种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n－1（n－1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。而用m种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（３）中给出了解题思路。下面，就让我们把这种解题思路应用于引例2．【分析】①首先栽种第1部分，有种栽种方法；②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示

6、），对扇形2有3种栽种方法，扇形3有2种栽种方法，扇形4也有2种栽种方法，扇形5也有2种栽种方法，扇形6也有2种栽种方法．于是，共有种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。综合①和②，共有种栽法。（当然此式中的18也可以直接用（1）中的公式算出：即）.10/10【拓展】上面，我们

7、分别就n为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P1，P2，…，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的解题思路。那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？（n为不小于3的整数）【分析】设为符合要求的对n个扇形的涂色方法。对扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m－1种涂色方法，扇形P3也有m－1种涂色方法，…………扇形Pn也有m－1种涂色方法．于是，共有种不同的涂色方法。但是，，因为这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符

8、合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n－1个扇形涂色（这种转换思维