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《2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式本讲知识归纳与达标验收同步配》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三讲柯西不等式与排序不等式【本讲知识归纳与达标验收】命题关注热能解读.对按高考！对应学生用书P37考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题.真题体验1・(陕西高考)设a,b,m,刀WR,且/+Z/=5,nb=5,则+n的最小值为•解析：由柯西不等式得(孑+〃)(〃：+/『)$S臼+/血)将已知代入得/〃'+/『35今V卅+桃,当且仅当氾4时等号成立.amn答
2、案：^52・(福建高考)已知定义在R上的函数f3=
3、/+11+丨x—21的最小值为孩(1)求自的值；(2)若q,q,厂是正实数，J1满足p+q+r=a,求证：p+q+r^?>.解:⑴因为x+i+x-2^(x+l)-2)
4、=3,当且仅当一1WxW2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3,即$=3.(2)由⑴知p+q+厂=3,又因为/?,q,厂是正实数，所以(p~Vq+/)(12+12+I2)>(刀X1+qX1+rX1)2=(p+q+r)2=9f即Z72+^+?>3.高频艾/例析迁移直用.专項吏
5、破！对应学生用书P37利用柯西不等式证明有关不等式问题柯西不等式的一般形式为（a!+az卜云）（bi+Z?2卜说）M（自方I+azbzT卜h€R,,=1,2,…，/?）,形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解.［例1］已知日,b,c,d为不全相等的正数，求证:出+知绘+£+£+玄［证明］由柯西不等式&+%+£+》$lr/lI1I1I1、27)"(忑+瓦+石+力丄111abcdbcda等号成立竹=T=T=7O-=〒=_=r\\abcdMBbcda0
6、a=b=c=d.又已知日，方，c,〃不全相等，则①中等号不成立.a利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其人小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷.［例2］设日，b,Q为实数，求证：12,1212令+仝+三2/+护+肥becaab［证明］rh对称性，不妨设於bNc,由排序不等式：顺序和事乱序和得12j121212z121211HIII8丄bQ、臼丄bq<3丄bc矗+石+忑2忑+瓦+石—万+:+万・又因为丿鼻沪三/,a
7、bc再次rh排序不等式：反序和w乱序和得11it『十一cocacl11>111111711++=+*.②aurh①②得12>1212becaab利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定.其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目屮，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.1斤［例3］已知5曰2+3方2=瓦，求a~+2ab+b~的最大值.35=（日+力）'=/+2ab+1）,当且仅当5日=3方即a=~,方=石时取等号.OO.*.~rX(5<
8、2+3Z?2)^a+2ab+lf.oa+2ab+Id^77X(5/+3Z?J)815=—X—=1158-'.a+2ab+lj的最大值为1.22［例4］已知正实数血…，必满足/+曲Xn=I"为定值，求A=—+—+•••Xz沟x„-Xn钿最小值.［解M、妨设o〈kWx2W・・・w乙则丄鼻丄鼻…鼻丄〉。丄1X2Xi的一个排列.根据排序不等式，得22无l1.Xn+一XnX2貳•*+处•土+…+处•2=舟+曲+…+"P=/«定值），当且仅当加=曲=・・・=必=7时取等号.即宀£+£+•••+宁+£的最小值为
9、R阶段男芒检测嫁合能力评估一自测白评对应学生用书P51（时间：90分钟，总分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项屮,只有一项是符合题目要求的）1.设日，"WR+且日+*16,则出的最小值是（）解析：（日+方）1-8B.1D-2当且仅当心.±=0土,即a=b=3时取等号.答案：A1.己知2x+3y+4z=10,则x+y+z取到最小值时的丛y,z的值为()A-1105R203040~9f6B•看29*2911113D.1,9C.h解析：由柯西不等式得(22+
10、32+42)(/+/+/)2(2卄3y+4z)S即x+y+z^100XV7当且仅当㊁=彳=二时，取到最小值,所以联立2_3_?、2x+3y+4z=10304029-答案：B1.已知日，b,c为正数且a+b+c=t3y[2f则yja+lf+c+yjc+a'的最小值为()A.4B・4、问C.6D.6^/2解析；J,b,c为正数.yja+/?2=寸1+1yj/+FW$+b.同理边yjIf+cb+c>y[2y/c+a~c+a,相加得(y]a+/}+
