电磁场能量动量张量的一种导出方法

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1、电磁场能量动量张量的一种导出方法姓名：林吴曦学号：1553496作为本学期的课程小论文，也是对电动力学学习、分析力学学习、经典场论与张量分析的初步接触的总结【4，5，6】，本文试图导出物质系统的动量能量张量，特别的，给出电磁场系统的动量能量张量。我们使用时空统一的四维空间理论处理问题，这样的空间的点坐标为：T1231234xx,x,x,ictx,x,x,x在三维理论中导出电磁场的能流密度、能量密度、动量流密度、动量密度时，我们用上了守恒律，即能量守恒与动量守恒。守恒律意味着对称性的存

2、在，而所谓的对称性，即意味着系统的某些性质对某种操作、某种变换保持不变性。比如，动量守恒对应着空间的平移不变性，能量守恒对应着时间的平移不变性【1】。在四维理论时空坐标统一的大背景下，这两者应该也能统一到一起。本文就试图从系统的哈密顿作用量在某无穷小变换下的不变性出发导出一个物质系统的动量能量张量，特别的，给出电磁场的动量能量张量。通常系统的哈密顿作用量为：SLdtL为系统的拉格朗日函数。通常而言，L是广义坐标、广义速度和时间的函数，在四维框架下，时间被统一进四维坐标，而广义坐标可以写成普通时空

3、坐标的函数，广义速度可以写成广义坐标对普通时空坐标的偏导【7】，即：Q(x)L(x)L(Q(x),)x1234其中Q(x)Q(x,x,x,x)，1,2,3,4，1，2，3，4。4四维框架下重新写出系统的哈密顿作用量：SL(x)dx，它在以下的无穷小变换下保持不变：xx'xxQ(x)Q'(x)Q(x)Q(x)其中的符号表示变分。保持不变就是说：44SL(x)dxL'(x')dx'，下面我们试图对该式作出处理。引入拉格朗日函数的变分

4、L(x)，计算它：L(x)L'(x)L(x)LLQQ()Q(Q)xxLL(Q)QQ(Q)xxLLLQ[Q][]QQQQx()x()xxLLL[Q]{[]}QQQx()Qx()xx利用经典场论的分析力学形式中的拉格朗日方程：LL[]0QQx()x可以得出：LL(x)[Q]

5、xQ()x我们也计算一下：L'(x')L(x)L'(x')L(x')L(x')L(x)L'xL(x)xLxL(x)x对于空间体元的变换，利用雅可比行列式，容易得到：44xdx'dx(1)x我们已知：44L'(x')dx'L(x)dx0下面就来计算上式：44L'(x')dx'L(x)dxx44L'(x')(1)dxL(x)dxxx4{L'(x')[L'(x')L(x)]}dxx

6、xL4[L'(x')xL(x)]dxxxxL4[L(x)xL(x)]dxxx4[(L(x)x)L(x)]dxxLL(x)[Q]利用：xQ()x得到：44L'(x')dx'L(x)dxL4{(L(x)x)[Q]}dxQxx()xL4{[L(x)xQ]}dxQx()x0LJL(x)xQ我们设：Q()x

7、J0即有：xJ这里即可以定义为物质系统的流密度，比如说，对应于电荷系统，就是四维电流密度；对应于实体物质系统，就是四维动量—J0能量流密度【2】。而方程就定义为流守恒方程。x考虑到普通三维情形下的动量守恒对应于空间平移不变性，那么，现在在四维情形下，我们做一个时空平移变换：xx'x1234广义坐标Q本质上就是x,x,x,x的一个函数，假设现在具有时空平移不变性的就是它，那么：Q'(x')Q(x)Q'(x)稍作变换：xx得到：Q(x)Q

8、'(x)Q(x)Q(x)xQ(x)Q(x)即：x代入流守恒方程：L[L(x)xQ]0xQ()x即得：LQ(x)[L(x)]0Qxx()x稍作变换：LQ(x)[L(x)]Qxx()xLQ(x)[L(x)g]xQx()x0其中：g是度量张量的混变分量。定义：LQ(x)