面积图趣解行程问题

《面积图趣解行程问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、面积图趣解行程问题吴乃华教学生解答生活中的问题，常常需要以画图的方法作为辅助手段来帮助学生理解。画图的方法很多，有线段图、网状图、波形图、韦恩图、面积图、情景模拟图等等。本文就利用面积图解答行程问题作个探讨，以期得到同行们的关注与校正。数学知识之间，都有一定的联系，利用“他山之石”来解决我们生活中的问题，不仅加强了我们知识上的融通，还会使我们的学习生活充满无穷的乐趣。行程问题和长方形面积的计算基本关系式的实质，都是因数×因数＝积，所以在解答行程问题的时候，可以以面积图利用其边长与边长、边长与面积、面积与面积的关系，予以比较，从而能形象而又直观地找到

2、解题的突破口，可以起到化难为易，化不能为可能的作用。比如，比较两个数量的倍数关系，在通常的情况下，一般都需要是两个同类量才能进行，平常，如果有人问“速度是时间的几倍？”大家一定会笑掉大牙，可是在面积图里，因为它们都是长方形的边长，所以也就无足为奇了。利用面积图解答行程问题，按其图形的组合形式，可以分为重叠式、拼合式、伸缩式三种。下面精选几个实例予以说明。一、重叠式：重叠式又分为两图重叠和三图重叠两种。⑴、两图重叠例1.李铭上学，有一天他发觉他每分钟走的米数，和到达学校时间的分钟数恰巧相同。并且，他计算了一下，如果每分钟多走12米，时间就减少10分钟

3、。你知道他家到学校的距离是多少米吗？解：设AB为李铭上学每分钟的速度，BC为他到校的时间，据题目条件，正方形ABCD即可表示他家到学校的距离。如果每分钟多走12米，时间就减少10分钟。长方形BEFG也表示他家到学校的距离。由于图中正方形的面积和长方形的面积相等，可知，长方形AEFH的面积也和长方形GHDC的面积相等（图一）。如果把EF延长至I，令其等于正方形的边长BC，再连接ID（图二），则长方形AEID与长方形GHDC的长边同为正方形ABCD的边长，可是长方形AEID比长方形GHDC的面积大12×10＝120；究其原因，是因为AE是GC的12÷1

4、0＝.所以长方形GHDC的面积是120÷（－1）＝600正方形ABCD的边长是CD＝600÷10＝60他家到学校的距离是60×60＝3600（米）例2.从甲地到乙地，火车原来每小时90千米的速度需12小时到达，现在提速后，每小时比原来多行驶30千米，可以提前多少小时到达？  解：图中AB＝90千米，长方形ABCD的面积表示按原速度，12小时所行驶的情况；BH＝30千米，长方形AHGE的面积表示提速后行驶的的情况，将这两个都表示从甲地到乙地的路程的长方形如此一重叠，提前的时间，就清楚地凸显出来了。   AE是实际行驶的时间，FC就是提前到达的时间，也

5、就是要求的问题。长方形ABCD的面积＝长方形AHGE的面积＝90×12＝1080.可知AE＝1080÷（90＋30）＝9即实际需要行驶9小时。所以FC＝AD－AE＝12－9＝3   即可以提前3小时到达。例3.甲、乙两人分别骑摩托车与自行车同时从A镇出发，到相距30千米的B镇去，结果甲比乙早小时到达B地。已知摩托车的速度是自行车速度的4倍。自行车的速度每小时多少千米？解：图中CD表示自行车的速度，CE表示摩托车的速度，则CE＝4CD；CH表示摩托车行全程所用的时间，CI表示自行车行全程所用的时间，HI＝小时.长方形CEFH的面积表示摩托车行走的情况

6、，长方形CDJI的面积表示自行车行走的情况，两个长方形都代表A、B两地的路程，30千米。根据长方形CEFH的面积为30，可推知宽边为：CH＝30÷4CD＝7.5÷CD＝；长方形CDJI的面积可以表示为：即CD×（＋）＝30.解得CD＝12自行车速度CD＝12（千米/小时）。⑵.三图重叠例4.张兴打算骑自行车从甲地前往乙地去办一件事。如果改骑摩托车，每小时可比自行车多走15千米，就可提前1小时到达；如果步行前往，每小时要比自行车少走7千米，就要推迟4.2小时到达。甲、乙两地相隔多少千米？解：长方形CJLE表示自行车到达乙地所行走的情况，长方形FJMI

7、表示步行到达乙地所行走的情况，长方形AJKB表示摩托车到达乙地所行走的情况，所以这三个长方形的面积是相等的。根据等量减等量差相等的道理可知，长方形ABGF的面积＝长方形GIMK的面积。又，长方形的面积一定，它的长与宽成反比例，所以，AB：IM＝（1＋4.2）：（15＋7）＝4：15同理，两个阴影长方形的面积也是相等的，所以CE：IM＝4.2：7＝9：15.这样，可知骑自行车需要的时间是：JL＝1×＝3（小时）骑摩托车需要的时间是：JK＝3－1＝1（小时）两个阴影长方形的面积都为：3×7＝21步行每小时的速度是IM＝21÷4.2＝5（千米）甲乙两地间

8、的相距是：5×（3＋4.2）＝36（千米）  例5.从甲城到乙城，如果比规定速度快10千米，就比规定时间提前2.4小时到达