定积分典型例题75043

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1、.定积分典型例题例1求．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．例2=_________．解法1由定积分的几何意义知，等于上半圆周()与轴所围成的图形的面积．故=．例18计算．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解＝＝＝．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如，则是错误的．错误的原因则是由于被

2、积函数在处间断且在被积区间内无界.例19计算．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数．解例20设是连续函数，且，则．分析本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．解因连续，必可积，从而是常数，记，则，且．...所以，即，从而，所以．例21设，，，求,并讨论的连续性．分析由于是分段函数,故对也要分段讨论．解（1）求的表达式．的定义域为．当时，,因此．当时，,因此,则==，故．(2)在及上连续,在处，由于,,．因此,在处连续,从而在上连xu例22计算．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解=．由于是偶函数，而是奇函数，有,于是===由定积分的几何意义可知,故

3、...．例23计算．分析被积函数中含有及，考虑凑微分．解=====．例24计算．解=====例26计算，其中．解法1令，则=．注如果先计算不定积分，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27计算．分析被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解设，，，则...=．例29计算．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解．例30计算．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解===．例31计算．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于，　　　

4、　　　　　　（1）而，（2）将（2）式代入（1）式可得,故．例32　计算．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．...解．　　　　　　　　　　　　　　（1）令，则．（2）将（2）式代入（1）式中得．例33设在上具有二阶连续导数，且，求．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于．故．，例35（00研）设函数在上连续，且，．试证在内至少存在两个不同的点使得．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数，找出的三个零点，由已知条件易知，，为的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证

5、明在之间存在两个零点．证法1令，则有．又，...由积分中值定理知，必有，使得=．故．又当，故必有．于是在区间上对分别应用罗尔定理，知至少存在，，使得，即．例36计算．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解=====．例37计算．解．例38计算．分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当和均收敛时，原反常积分才是收敛的．解由于====．==...==．所以．例39计算．分析此题为混合型反常积分，积分上限为，下限为被积函数的瑕点．解令，则有＝＝，再令，于是可得＝＝＝＝＝＝＝＝．例40计算．解由于，可令，则当时，；当时，；当时，；当时，；故有．注有些

6、反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．...例41求由曲线，，，所围成的图形的面积．分析若选为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以为积分变量．解选取为积分变量，其变化范围为，则面积元素为==．于是所求面积为=．例42抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比．解抛物线与圆的交点分别为与，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分，，记它们的面积分别为，，则有图5－15－1图5－2===，=，于是==．例43求心形线与圆所

7、围公共部分的面积．分析心形线与圆的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解求得心形线与圆的交点为=，由图形的对称性得心形线与圆所围公共部分的面积为图5－3==．...例44求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线，和曲线所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线相切于点，则切线方程为．又切线与直线，和曲线所围成的平面图形的面积为图5－4==．由于==，令，解得驻点．当时，而当时．故当时，取