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1、2014-2015学年江苏省宿迁市剑桥国际学校高二上学期期中考试数学一、填空题（共14小题；共70分）1.过点−2,3且与直线x−2y+1=0垂直的直线的方程为______．2.（5分）（2016秋•徐州期中）过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为3.已知△ABC中，A2,4，B1,−3，C−2,1，则BC边上的高AD的长为______．4.已知两条直线l1:3+mx+4y=5−3m，l2:2x+5+my=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m=______．5.已知l，m是两条不同
2、的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l∥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是______（写出所有真命题的序号）．6.（5分）（2013秋•兴化市期中）若两圆x2+y2=4，x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=±3.7.若x，y满足约束条件x≥0,x+2y≥3,2x+y≤3,则z=x−y的最小值是______．8.过平面区域x−y+2≥0,y+2≥0,x+y+2≤0,内一点P作圆O:x2+y
3、2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为______．9.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．10.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线经过点1,2，则该双曲线的离心率的值为______．11.已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为2,3，若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n=______．12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为
4、x−42+y2=1，若直线y=kx−3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是______．13.已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是______．第6页（共6页）14.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，F1，F2是椭圆的左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使PF1是P到直线l的距离的2倍，则该椭圆离心率的取值范围是______．二、解答题（共6小题；共78分）15.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若
5、AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．17.（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±34x，准线方程为x=±165，求该双曲线的标准方程．18.已知△ABC三个顶点坐标分别为A1,0，B1,4，C3,2，直线l经过点0,4．（1）求△ABC外接圆⊙M的方
6、程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=23，求直线l的方程．19.已知直线l与圆C:x2+y2+2x−4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M0,1，（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为2，求实数a的取值范围；（3）已知N0,−3，若圆C上存在两个不同的点P，使PM=3PN，求实数a的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=63，且椭圆C上的点到点Q0
7、,2的距离的最大值为3．第6页（共6页）（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点Mm,n，使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大?若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．第6页（共6页）答案第一部分1.2x+y+1=02.（x+2）2+（y﹣1）2=53.54.−75.②④6.±7.−38.−4,−29.2610.511.512.24713.8314.−3+172,1第二部分15.（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以
8、AD⊥BC．因为AA1⊥AD，AA1∥CC1，所以AD⊥CC1，CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1，因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． （2）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．D为BC的中点，所以OD∥A1B．因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．16.（1）取PC中点F，连接EF
