数形结合思想在数学解题中的应用

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1、数形结合思想在数学解题中的应用数形结合思想在数学解题中的应用公主岭市第三高级中学数学组黄鹤［摘要］数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化;能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.本文通过“以形助数”和“以数助形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决.［关键词］数形转化；数形结合引言：数形结合思想，其本质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维有效的结合起来,进而通过数与形之间的对应和转化来解决数

2、学问题。运用数形结合的思想解题常常可以优化解题思路，简化解题过程，从而起到事半功倍的效果.一.数形结合思想.数形结合思想的重要性从数学的历史背景上说，“数”与“形”是最古老，最基本的研究对象，在一定情况下，它们是可以相互转化的,在这一转化过程中，就产生了数形结合思想•数形结合思想在数学解题中具有举足轻重的地位，它是联系代数和几何的桥梁，是建立空间想象力的纽带，是解决数学问题的重要思想方法•我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”华老的这句话揭示了数形结合思想的重要性，也对我们的数学解题具有极深刻的启示.数形结合思想的分类.作为

3、一种重要的思想方法，数形结合思想的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，即将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论•第二种情形是“以形助数”，即借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化，给人以直觉的启示.通过这两种方法可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，进而实现优化解题的目的.与数形结合思想相关的内容.数形结合思想作为一种重要的解题思想应用极其广泛,常与以下内容有关：实数与数轴上对应点的关系；函数与图像的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素或者是几何背景建立起来的概念，如三角函数等；题中出现的等式或者是代数式具

4、有明显的几何意义.如斜率等.至于数形结合思想具体的应用技巧将会在以下具体的例子中体现.利用数形结合思想解决问题的注意事项.要想更好的运用数形结合的思想使问题得以简化，需要注意以下几点：要彻底的明白数学中的一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，既能够分析出题目中的条件和结论的几何意义，又能分析出其代数意义.（2）恰当的设参，合理的用参，由数思形，以形想数，做到合理恰当的转化•（3）正确确定参数的取值范围，不要与题中的取值范围混淆.二.数形结合思想在解题中的应用.数形结合思想作为一种解题方法，实际上包含两方面的含义；一方面是对“形”的问题，我们

5、可以通过引入坐标系或者寻找题中的数量关系式，用“数”的相关分析加以解决；另一方面，对于"数”的问题即数量间的关系问题，我们可以通过分析其几何意义，借助图形的直观性来解决.具体的实施方案如以下例题.数形结合在函数中的应用.利用数形结合解决与方程的根有关的问题.例1.已知方程有4个根，则实数m的取值范围.分析过程：此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程根的个数的问题，我们可以通过数形结合思想转而求两条曲线的交点个数，从而解决此类问题•解：由于方程根的个数问题就是方程与函数图象的交点的个数.作出抛物线的图象，考虑到当时，不符合题意，因此，•所

6、以，我们需将抛物线轴下方的图象翻折到轴上方，得到的图象.再作出的图象，如下图所示：由图象可以看出,当时，两函数图象有四个交点，故的取值范围为.