高等数学竞赛-题库.不定积分定积分

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1、..高等数学竞赛不定积分不定积分的概念与性质1、设,求2、设,求3、已知,试求函数利用基本积分法求不定积分一、利用凑微分法求不定积分1、求下列不定分;(1)(2)(3)(4)2、求下列不定积分(1)(2)(3)(4)(5)二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求下列积分(1)(2)(3)(4)2、倒代换(即令)求下列积分(1)(2)3、指数代换(令则)(1)(2)4、利用分部积分法求不定积分(1)(2)(3)(4)资料..(5)5、建立下列不定积分的递推公式(1)(2)有理函数的积分1、求下列不定积分(1)(2)(3)2、求下列不定积分(1)(2)(3)(4)简单无理函数积分1、2、三角

2、有理式积分1、2、3、4、5、6、含有反三角函数的不定积分1、2、抽象函数的不定积分1、2、分段函数的不定积分例如:设求.资料..高等数学竞赛定积分比较定积分大小1、比较定积分和的大小2、比较定积分和的大小利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分的值2、试估计定积分的值二、不等式证明1、证明不等式:2、证明不等式:三、求极限1、2、关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求下列导数:(1);(2)由方程确定的隐函数的导数2、设在上连续且满足,求3、设为关于的连续函数,且满足方程,求及常数.4、求下列极限:资料..(1)(2)5、设是连续函数,且,求.6、已知且,求及定积分的计算一、

3、分段函数的定积分1、设求2、求定积分二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求下列定积分:(1)(2)2、求定积分的值三、对称区间上的积分1、设在上连续,计算2、设在上连续,且对任何有,计算3、计算积分4、设在区间上连续,为偶函数,且满足条件(为常数).(1)证明:(2)利用(1)的结论计算定积分资料..四、换元积分法1、求下列定积分:(1)(2)(3)五、分部积分1、设有一个原函数为,求2、3、积分等式的证明一、换元法(适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件)1、若函数连续,证明:(1)(2)(3)2、设连续,求证,并计算3、设连续,且关于对称,,z证明:(提示:关于对称,即)二、分部积分法(

4、适用于被积函数中含有或变上限积分的命题)例:设连续,,证明:三、构造辅助函数法(适用于证明在积分限中至少存在一点或使等式成立的命题)解题思路:(1)将或改成,移项使等式一端为零,则另一端即为所作的辅助函数资料..或。(2)验证满足介值定理或微分中值定理的条件。(3)由介值定理或微分中值定理,即可证得命题。1、设在上连续,证明:至少存在一点,使得:2、设在上连续,在内可导,.求证:在内至少存在一点使四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有:定积分的比较定理,估值定理,函数的单调性,积分与微分中值定理。1、设在上连续,且严格递增,证明:2、设在上连续且单调减少,,求证:3、设在上可导,且.

5、证明:广义积分1、求下列广义积分(1)(2)(3)(4)2、证明:无穷积分当时收敛,当时发散.3、当时,是以为瑕点的瑕积分,证明它在时收敛,在时发散.资料..高等数学竞赛导数与微分练习利用导数定义解题1、设函数又在处可导,求复合函数在处的导数。2、已知在处可导,求3、设求在点处的导数4、设函数在处可导,且试求5、设求极限6、设在上有定义,且又,求导数在几何上的应用1、设函数由方程确定,求曲线在处的法线方程2、已知是周期为5的连续函数,它在的某个领域内有关系式其中是当时比高阶的无穷小,且在处可导,求曲线在点处的切线方程.利用导数公式及求导法则求导1、已知,求2、若,求资料..3、若4、设函数由方

6、程确定。求5、设函数由所确定,求6、设函数,其中具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求求高阶导数常用方法:(1)将函数变形。利用已知函数的阶导数公式;(2)利用莱布尼兹公式求某些积的阶导数。1、设函数,求2、设函数,求3、设函数求4、设函数,求5、设函数可导、连续与极限存在的关系1、设其中具有二阶连续导数,且求并讨论在内的连续性。2、设其中讨论在什么条件下在处连续。资料

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