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《7高中数学人教a版选修4-学案：互动课堂第二讲五 与圆有关的比例线段word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！互动课堂重难突破 一、相交弦定理1.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.图2-5-12.定理的证明:如图2-5-1,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内的一点P.求证:PA·PB＝PC·PD.证明:连结AC、BD,则由圆周角定理有∠B=∠C.又∵∠BPD=∠CPA
2、,∴△APC∽△DPB.∴PA∶PD＝PC∶PB,即PA·PB＝PC·PD.当然,连结AD、BC也能利用同样道理证得同样结论.3.由于在问题的证明中,⊙O的弦AB、CD是任意的,因此,PA·PB＝PC·PD成立,表明“过定圆内一定点P的弦,被P点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点P的弦有无数多条,然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦,如过点P的最长或最短的弦,通过它们可以找到定值.图2-5-2如图2-5-2（1）,考察动弦AB,若AB过⊙O的圆心O,则AB为过点P的最长的弦,设⊙O的半径为R,则PA·
3、PB＝（R－OP）（R＋OP）.如图2-5-2（2）,考察过点P的弦中最短的弦,AB为过⊙O内一点P的直径,CD为过点P且垂直于AB的弦,显然,由垂直定理和相交弦定理,应有PA·PB＝PC·PD＝＝OC2－OP2＝R2－OP2.由于⊙O是定圆,P为⊙O内一定点,故⊙O的半径R与OP的长为定值.设OP＝d,比较上述两式,其结论是一致的,即PA·PB＝（R-d）(R+d)=R2-d2,为定值.于是,相交弦定理可进一步表述为:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积为一定量,它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.定圆的任一弦
4、被定点分得两线段长的积为定值,这个定值与点P的位置有关,对圆内不同的点P,一般来说,定值是不同的,即这个定值是相对于定点P与定圆O而言的.同时,由第二式可直接得到相交弦定理的推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项,即PC2＝PD2＝PA·PB.二、割线定理与切割线定理1.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.2.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.图2-5-3 3.符号语言表述:如图2
5、-5-3,PA·PB=PC·PD=PE2.4.定理的证明:连结EC、ED,由于PE为切线,所以∠PEC=∠PDE.又因为∠EPC=∠EPC,于是△PEC∽△PDE,因此有PE∶PC=PD∶PE,即PE2=PC·PD.同理,有PE2=PA·PB,所以PA·PB=PC·PD.5.应注意的两点:（1）所有线段,都有一个公共端点P,而另一端点在圆上;（2）等积式左右两边的线段,分别在同一条割线上. 三、切线长定理1.我们知道,过圆外一点可以引两条直线与圆相切,在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一
6、条线段的长,而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线,而切线长是切线上一条线段的长,属于切线的一部分.2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.图2-5-4 3.切线长定理及其应用:因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据.如图2-5-4,PA、PB是⊙O外点P向圆作的两条切线,切点为A、B,那么有PA=PB,∠OAP=∠OBP.4.由切线长定理,可以得到圆外切四边形的一个重要性质:圆的外切四边形的两
7、组对边和相等.利用这一性质可以方便地解决许多问题.四、刨根问底问题1相交弦定理、割线定理、切割线定理在表述形式上非常类似,定理中都涉及到两条线段的积相等,那么这些定理有什么内在联系？定理中两条线段的积能确定具体数值吗？探究:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理统称为圆幂定理,圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）.两条线段的长的积是常数PA·PB＝
8、R2
9、－d2
10、,其中d为定点P到圆心O的距离.若P在圆内,d＜R,则该常数为R2－d2;若P在圆上,d＝R,则该常数为0;若P在圆外,d＞R,则该常数为d2－R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点.在实际应用中,见圆中有两条
