高考数学一轮复习 第5章 数列 热点探究课3 数列中的高考热点问题教师用书 文 北师大版

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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线热点探究课(三)　数列中的高考热点问题[命题解读]　数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．热点1　等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题

2、，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．　(2016·天津高考)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．[解]　(1)设数列{an}的公比为q.由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1.2分又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1.所以an＝2n

3、－1.5分(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，即{bn}是首项为，公差为1的等差数列.8分设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.10分政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产

4、党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线[规律方法]　1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}(b>0，且b≠1)是等差数列．2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．[对点训练1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，

5、数列的前n项和最大？【导学号：66482265】[解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0(n≥1).2分若a1≠0，则a1＝.当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.5分(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝

6、lg，由(1)知，bn＝lg＝2－nlg2.7分所以数列{bn}是递减的等差数列，公差为－lg2.b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg

7、葆底色、不碰底线“基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用．　(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[思路点拨]　(1)取n＝1，先求出a1，再求{an}的通项公式．(2)将an代入anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得出数列{bn}为等比数列，再求{bn}的前n项和．[规范解答]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1

8、＝2.3分所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.5分(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，7分因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列.9分记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.12分[答题模板]　第一步：求出{an}的首项a1；第二步：求出{an}的通