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时间:2018-12-31
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1、高中数学竞赛几何不等式练习题1.在△ABC中,M为BC边的中点,∠B=2∠C,∠C的平分线交AM于D.证明:∠MDC≤45°.2.设NS是圆O的直径,弦AB⊥NS于M,P为弧上异与N的任一点,PS交AB于R,PM的延长线交圆O于Q,求证:RS>MQ.3.在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的平分线交外接圆于P、Q、R.证明:AP+BQ+CR>BC+CA+AB.4.过△ABC内一点O引三边的平行线,DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上,表示六边形DGHEFI的面积,表示△
2、ABC的面积.求证:.5.求证:△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍.6.凸四边形ABCD具有性质:(1)AB=AD+BC,(2)在其内部有点P,P点到CD的距离为h,并使AP=h+AD,BP=h+BC,求证:.7.设H为锐角△ABC的垂心,A1,B1,C1,分别为AH,BH,CH与△ABC外接圆的交点.求证:.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.8.一凸四边形内接于半径为1的圆.证明:四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0
3、、C的垂线分别交对边于D、E、F,AB>AC,直线EF交BC于P,过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R.N是BC上的一点,且∠NQP+∠NRP<180°,求证:BN>CN.参考答案【同步达纲练习】1.设∠B的平分线交AC于E,易证EM⊥BC作EF⊥AB于F,则有EF=EM, ∴AE≥EF=EM,从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM.又 2∠MDC=2(∠MAC+∠ACD)=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB, ∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC,∴∠MDC≤
4、45°. 2.连结NQ交AB于C,连结SC、SQ.易知C、Q、S、M四点共圆,且CS是该圆的直径,于是CS>MQ.再证Rt△SMC≌Rt△SMR,从而CS=RS,故有RS>MQ. 3.设的内心为I,由IA+IB>AB,IB+IC>BC, 即2(AP-IP+BQ-IQ+CR-IR)>AB+BC+CA (1) 连AR,∵∠AIR=∠IAR,∴IR=AR,又AR=BR,同理 (2)由(1)、(2)即得AP+BQ+CR>AB+BC+CA. 4.如图8. 设三边长分别为a、b、c,IF=x
5、,EH=y,DG=z,则依题意有∽,,(易知OE=CF) 同理,所以, 由柯西不等式,从而 于是 5.设G到各边距离为由 (r为内切圆半径),得又(艾尔多斯——莫德尔不等式).故 即AI+BI+CI≥2(r1+r2+r3) 6.分别以A、B、P为圆心,AD、BC、h为半径作圆,三圆两两外切,EF为⊙A、⊙B外公切线,⊙P与EF相切时h最大,此时设AD=r,BC=R,⊙P半径为m,则 化简得 ,即 由知命题成立. 7.由外接圆心O向BC作垂线OD于D, 则AH=2·OD,∠DO
6、C=∠A,故 HA=2OD=2RcosA.同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是的垂直平分线,,得 同理.于是原不等式等价于 而 ∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 故 8.如图, 引进有关边长、对角线、角的记号,则a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得 a+b+c+d>e+f,即u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四边形至少有一角,不妨设,则 且,同样可设,由圆的半径为1及正弦定理得 .于是u<2等价于证明:
7、 下面证明更强的结论: 由于 故结论成立. 9.取BC中点M,只需证∠MRP+∠MQP=180°,即R、M、Q、P四点共圆. 如图,连结ED,易知∠PEC=∠DEC,∠DEB=∠FEB,有连结ME. ∠EMC=180°-2∠ACB,∠EDP=180°-∠ACB-∠CED. ∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC ∴△MDE∽△MEP,从而ME2=MD·MP=MC2又∵RQ∥FP, ∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ∴B、R、C、Q四点共圆. RD·DQ=BD·CD=(B
8、M+MD)(CM-MD)=MC2-MD2=MD·MP-MD2=MD·PD ∴R、M、Q、P四点共圆. 即∠MRP+∠MQP=180°,当N∈BC,且∠NQP+∠NRP<180°时,N必在M右侧,故BN>CN.
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