阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法

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1、陇东学院数学系常微分方程精品课程教案第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求:理解常系数线性微分方程组的特征方程式,特征根,特征向量的概念,掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式,特征根,特征向量的概念.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一

2、般方法.然而对于常系数线性齐次方程组                                             (3.20)其中是实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一矩阵，恒存在非奇异的矩阵，使矩阵成为约当标准型.为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换    (3.21)其中,将方程组(3.20)化为                                         (3.22)我们知道，约当标准型的形式与矩阵A的特征

3、方程20教案编写人:李相锋李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案的根的情况有关.上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵的特征根.下面分两种情况讨论.(一)矩阵A的特征根均是单根的情形.设特征根为这时                           方程组(3.20)变为        (3.23)易见方程组(3.23)有n个解  把这n个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n个解 20教案编写人:李相锋李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案这里是矩阵第列向量，它恰好是矩阵关于特征根的特征向量，并且由线性方程组所确定.容

4、易看出，构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式在时为.于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根彼此互异，且分别是它们所对应的特征向量，则                    是方程组(3.20)的一个基本解组.例1试求方程组的通解.解它的系数矩阵是特征方程是20教案编写人:李相锋李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案即                  所以矩阵的特征根为．先求对应的特征向量满足方程即可得.取一组非零解，例如令，就有.同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是故方程组的通解是

5、(二)常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组               （3.20）归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理3.11，对应解是20教案编写人:李相锋李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案其中是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现． 定理3.12如果实系数线性齐次方程组有复值解其中与都是实向量函数，则其实部和虚部证明因为是方程组(3.8)的解，所以                  由于两个

6、复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明： ,即,都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13如果是区间上的个线性无关的向量函数，是两个不等于零的常数，则向量函数组                  (3.24)在区间(a,b)上仍是线性无关的.20教案编写人:李相锋李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在个不全为零的常数，使得对区间上的所有皆有      所以      因为线性无关，从而          从上式可知，,因为,故.即所有常数都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭

7、成对地出现.即，如果是特征根，则其共轭也是特征根.由定理3.11，方程组(3.20)对应于的复值解形式是                                     20教案编写人:李相锋李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案这里是对应于的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根的解，记作.现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为       由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解，并且由