数列、数列的极限与数学归纳法

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1、数列、数列的极限与数学归纳法主讲人：黄冈中学高级教师　汤彩仙一、复习策略　　本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.　　高考对本章考查比较全面，等差、等比数列，数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏．就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13％，理工类卷中分数占11％，由此可以看出数列这一章的重要性.　　本章在高考中常见的试题类型及命题趋势：　　(1)数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．关于递推公式，在《

2、考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照《考试说明》，不要求较复杂由递推公式求通项问题．　　(2)探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．　　(3)等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题．　　(4)求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.　　(5)将数列应用题转化为

3、等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查．　　通过上述分析，在学习中应着眼于教材的基本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面：　　理解概念，熟练运算　　巧用性质，灵活自如二、典例剖析考点一：数列的通项与它的前n项和例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数．41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P=_____

4、_____．解析：　　，　　．显然当时有因数41，此时．答案：1681点评：　　本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力．体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n项但不一定满足其所有的性质的特点．例2、已知等差数列中，，前10项之和是15，又记.(1)求的通项公式；(2)求；(3)求的最大值．(参考数据：ln2=0.6931)解析：　　(1)由，得，　　．　　(2)　　．　　(3)法一：，，由ln2=0.6931，计算>0，<0，所以极大值点满足，但，所以只需比较与的大小：，．　　法二：数列的通项，　　令，　　．点评：　　求时，也可先求出，这要正确理解“

5、”，其中应处在的表达式中的位置．例3、已知数列的首项，前项和为，且．　　(1)证明数列是等比数列；　　(2)令，求函数在点处的导数，并比较与的大小．解析：　　(1)由已知时，．　　两式相减，得，即，从而．　　当时，．　　又．从而．　　故总有．　　又．从而．　　即是以为首项，2为公比的等比数列．　　(2)由(1)知，　　．　　　　　　当n=1时，(*)式=0，；　　当n=2时，(*)式=－12<0，；　　当n≥3时，n－1>0．　　又，　　，即(*)式>0，从而．考点二：等差数列与等比数列例4、有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表，如下图)．　　其

6、中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：a24=1，a42=，a43=，(1)求公比q；(2)用k表示a4k；(3)求a11＋a22＋a33＋…＋ann的值.分析：　　解答本题的关键首先是阅读理解，熟悉矩阵的排列规律，其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解．解：　　(1)∵每一行的数列成等差数列，　　∴a42，a43，a44成等差数列，∴2a43=a42＋a44，a44=;　　又每一列的数成等比数列，a44=a24·q2，a24=1，∴q2=，且an>0，∴q=.　　(2)a4k=a42＋(k－2)d=＋(k－2)(a43－

7、a42)=.　　(3)∵第k列的数成等比数列，∴akk=a4k·qk－4=·()k－4=k·()k(k=1，2，…，n).记a11＋a22＋a33＋…＋ann=Sn，则Sn=＋2·()2＋3·()2＋…＋n·()n，Sn=()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1，　　两式相减，得Sn=＋()2＋…＋()n－n()n＋1=1－，　　∴Sn=2－，即a11＋a22＋a33＋…＋ann=2－．例5、已知分别是轴，轴方向上的单位向量，且(n=2，3，4，…)，在射线上从下到上依次有点，且=(n=2，3，4，…)．(1)求；(2)求；(3)求四边形面积的最大值

8、．解析：