《专转本导数》word版

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1、第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法1.利用定义求导数2.导数的四则运算法则3.复合函数的求导法则若与均可导，则也可导，且即4.反函数的求导法则若与互为反函数，且单调、可导，则，即5.隐函数求导法求由方程确定的隐函数的导数。只需将方程两边同时对x求导（注意其中变量y是x的函数），然后解出即可。6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题：(1)幂指数函数y=；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如y=,,等等。7.由参数方程所

2、确定函数的求导法则设由参数方程确定的函数为y=f(x)，其中可导，且0，则y=f(x)可导，且8.求高阶导数的方法二、导数公式1.基本初等函数求导公式(1)　　(2)　(3)　　(4)　(5)　　(6)　(7)　　(8)　(9)　　(10)　(11)　　(12)　，(13)　　(14)　14(15)　　(16)　2.常见函数的高阶导数(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)3.两个函数乘积的阶导数公式(莱布尼兹公式)三、微分在近似计算中的应用1.微分可以用来求函数在某点的近似值：当

3、Δx

4、很小时，(x0+Δ

5、x)≈(x0)+(x0)Δx2.微分可以用来求函数增量的近似值当

6、Δx

7、很小时，Δy≈dy=(x0)Δx3.微分可以用来求函数的近似公式当

8、x

9、很小时，特别当时,有近似公式常用的近似公式有sinx≈x(x以弧度为单位)，tanx≈x，ln(1+x)≈x，ex≈1+x，(1+x)n≈1+nx四、导数的应用1.拉格朗日中值定理若在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得-=(b-a)或改写为=在实际应用中，Lagrange定理还有增量形式：当在(a,b)内可导，x,x+△x∈(a

10、,b)，则有ξ介x,x+△x之间使f(x+△x)-f(x)=△x或△y=△x2.函数单调性的判别法设且在内可导，（1）若在内，则在上单调递增；（2）若在内，则在上单调递减.说明：闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）结论仍成立.3.函数取极值的充分条件第一充分条件：设函数在内可导且（或在内可导且在处连续），（1）若在内，当时，；当时，，则在处取得极大值；（2）若在内，当时，；当时，，则在处取得极小值；14（3）若在内，在的左右同号，那么不是的极值点.第二充分条件：设函数在点处具有二阶导数且，，那么（1）当时，

11、函数在处取得极大值；（2）当时，函数在处取得极小值。4.曲线凹凸性的判定法设函数在区间内二阶可导，（1）若在内，则曲线在上是凹的．（2）若在内，则曲线在上是凸的．案例分析一、利用导数定义计算若干问题1.利用导数定义求极限如果存在注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同例1设在点可导，求下列极限（1）（2）已知，利用导数定义求极限解：（1）（2）====02.利用导数定义求函数的导数例2(1)设，求解：由于，则故因为在处二阶可导，故、在处连续，即、所以注意：函数仅在处存在二阶导数，故求时不能直接

12、利用求导公式。（2）设周期函数的周期为5，可导，如，求曲线在点处的切线方程。解：因为函数的周期为5，故而故14，即所以在点处的切线为（3）设，，求解：3.求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析:含有绝对值的函数可转化为分段函数分析:（1）当x>a当x

13、和﹟,求待定系数例4已知在处可导,求a,b解：在处可导,则在处连续,即而即又在处可导,则须满足，而14,,即5.求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性函数,求,并讨论的连续性分析:（1）先求(见求导数部分)（2）然后讨论在定义域内的连续性例5设问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导数，但在x=0处却不存在二阶导数。解：由题意，知在点处连续、可导且二导不存在，即需满足，，，而即即即6.利用导数求函数例6（1）设f(x)在（0，+∞）内有定义，且，又对，有，求解：令，有得(﹡)而(﹡﹡)由

14、(﹡)、(﹡﹡)得注意：有乘积的，一般令、互为倒数（2）设函数满足等式，且存在，求解：令，则有得[1]令有[2]14由[1]、[2]得有得令得即注意：有和的，一般令、互为相反数；有差的，一般令、相等二、根的存在性问题1.利用零点定理结合函数的单调性证明方程有实根利用零点定理证明方程在内至少有一个实根方法：（1）令，在上连续（2）计算，（或，）（3）如果（或），则在内至少有一个实根例7（1）设在时连续