2014高中数学 1-3-2 球的体积和表面积能力强化提升 新人教a版必修2

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1、【成才之路】2014高中数学1-3-2球的体积和表面积能力强化提升新人教A版必修2一、选择题1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于(　　)A.　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3[答案]　D2．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是(　　)A．2R3B.πR3C.R3D.R3[答案]　C3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)A．RB．2RC．3RD．4R[答案]　D4．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝.

2、5．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是(　　)A．6:5B．5:4C．4:3D．3:2[答案]　D[解析]　设球的半径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，∴＝＝.6．(2012～2013山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(　　)A．20B．25C．50πD．200π[答案]　C[解析]　长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝，∴R＝，S球＝4πR2＝50π.7．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表

3、面积是(　　)A．9πB．10πC．11πD．12π[答案]　D[解析]　本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.8．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则(　　)A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙[答案]　C[解析]　计算得V甲＝πa3，

4、S甲＝4πa2，V乙＝πa3，S乙＝πa2，∴V甲＝V乙，且S甲>S乙．二、填空题9．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积和是原来整球表面积的________倍．[答案]　[解析]　S球＝4πR2,2S半＝(2πR2＋πR2)×2＝6πR2，＝＝.10．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．[答案]　3:1:2[解析]　V柱＝πR2×2R＝2πR3，V锥＝πR2×2R＝R3，V球＝πR3.V柱:V锥:V球＝3:1:2.11．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为_

5、_______．[答案]　[解析]　设球O的半径为r，则πr3＝23，解得r＝12．(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.[答案]　4[解析]　设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.三、解答题13．(2012～2013·福建厦门高一检测)如图是一个几何体的三视图，根据

6、图中数据，求该几何体的表面积和体积．[解析]由三视图可知此几何体是半径为2的半球．S＝×4πR2＋πR2＝12π，V＝πR3×＝π.14．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的.(1)求r和h；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4cm处，求水的体积．[解析]　(1)∵半球部分容量为全试管容量的，∴半球部分与圆柱体部分容量比为，即＝∴h＝r，πr3×＝108π×∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝πr3×＋πr2×(h－4)＝π×

7、33×＋π×32×6＝72π(cm3)．15．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．[解析]　设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝a，r＝a，∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，S3＝6π2＝6π·a2＝a2，∴S23a2＝a2，即S1>S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2

8、半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．[解析]