高中数学 2.5.2等比数列的前n项和导学案（含解析）新人教版必修5

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1、第二章第五节数列前n项和习题课目标定位：运用分组求和法，错位相减法，裂项相消法求数列的和，弄清每一种方法对应的题型特征。（重点和难点）1．等差数列和等比数列求和公式是什么？其公式是如何推导的？2．等差数列和等比数列的性质有哪些？分组转化法求和[例1]　已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前n项和．[解]　令{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－n.即数列{cn}的前n项和为Sn＝＋1－n.[类题通法]当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如

2、果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．[活学活用]1．求和：Sn＝3＋33＋333＋…＋.解：数列3,33,333，…，的通项公式an＝(10n－1)．∴Sn＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－＝×－＝(10n－1)－.错位相减法求和[例2]　(2012·浙江高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log

3、2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.[解](1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1,2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1

4、)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.[类题通法]如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．[活学活用]2．已知an＝，求数列{an}的前n项和Sn.解：Sn＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝－－，∴Sn＝－－＝－.裂项相消法求和[例3]　已

5、知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)∵an＝2n＋1，∴a－1＝4n(n＋1)，因此bn＝＝.故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.∴数列{bn}的前n项和Tn＝.

6、[类题通法]裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的．利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致．[活学活用]3．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，且bn＝，求数列{bn}的前n项的和．解：an＝(1＋2＋…＋n)＝，∵bn＝，∴bn＝＝8(－)，∴数列{bn}的前n项和为Sn＝8[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝8(1－)＝.数列求和的常用方法归纳1．公式法(分组求和法

7、)　如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：①＝·(－)；②若{an}为等差数列，公差为d，则＝(－)；③＝－等．3．错位相减法若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{an

8、bn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．4．倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法．[随堂即时演练]1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项