2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（五十四）圆锥曲线的综合问题 理（重点高中）

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1、课时跟踪检测（五十四）圆锥曲线的综合问题(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则

2、AB

3、的最大值为(　　)A．2　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y，得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，由题意得Δ＝(8t)2－20(4t2－4)＞0，即t2＜5，因为x1＋x2＝－，x1x2＝，所以弦长

4、AB

5、＝·＝4·≤，当且仅当t＝0时取等号．故

6、AB

7、的最大值

8、为.2．(2018·泉州质检)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　)A．(，)B．(，＋∞)C．(，2)D.解析：选B　法一：由题意知，直线l：y＝－(x－c)，由得x2＋x－＝0，由x1x2＝＜0得b4＞a4，所以b2＝c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e＞.法二：由题意，知直线l的斜率为－，若l与双曲线左、右两支分别交于D，E两点，则－>－，即

9、a22，得e>.3．已知双曲线－＝1(a>0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　)A.B.C．2D．3解析：选A　由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x，y2＝2x，两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1

10、＜x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，所以＝－1，故x1＋x2＝－，而x1x2＝－，解得x1＝－1，x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝＝＝，因为中点M在直线y＝x＋m上，所以＝－＋m，解得m＝.4．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)A．－B．－C．－D．－解析：选A　由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x

11、1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0，ax＋by＝0，两式相减得a(x－x)＝－b(y－y)，即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，∴·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，∴－×(－1)＝－，∴＝－，故选A.5．(2018·长春调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，设过点T(9，m)的直线TA，TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x

12、2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0，则直线MN与x轴的交点坐标为(　　)A.B.C．(1,0)D．(2,0)解析：选C　直线TA的方程为＝，即y＝(x＋3)，直线TB的方程为＝，即y＝(x－3)，将TA，TB的方程分别与椭圆＋＝1联立，解得M，N.当x1≠x2时，直线MN的方程为＝，令y＝0，解得x＝1，此时直线MN必过点(1,0)；当x1＝x2时，得m2＝40，直线MN的方程为x＝1，与x轴的交点为(1,0)．所以直线MN与x轴的交点是(1,0)．6．已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ

13、－1)·(λ∈R)(O是坐标原点)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．解析：因为＝(λ－1)，所以＝λ，即O，A，P三点共线，因为·＝72，所以·＝λ

14、

15、2＝72，设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为θ，线段OP在x轴上的投影长度为

16、

17、

18、cosθ

19、＝

20、λ

21、

22、x

23、＝＝＝≤＝15，当且仅当

24、x

25、＝时取等号．答案：157．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则当PA与PB的斜率都

26、存在，且＝－2时，直线PA与PB的斜率之和为________．解析：设直线PA的斜率为kPA，PB的斜率为kPB，由y＝2px1，y＝2px0，两式相减得y－y＝2p(x1－x0)，得kPA＝＝，同理kPB＝.由＝－2，得y1＋y2＝－2y0，故＋＝0，即kPA＋kPB＝0.故直线PA与PB的斜率之和为0.答案：08．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当

27、AF

28、＋4

29、BF

30、取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为________．解