（江苏专版）2016届高考数学一轮复习 6.1数列的有关概念 理

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1、第六章　数　列§6.1　数列的有关概念考点1　数列的概念及通项公式1.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　. 答案　-4.(2015重庆,22,12分)在数列{an}中,a1=3,an+1an+λan+1+μ=0(n∈N+).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{an}的通项公式;(2)若λ=(k0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+<<2+.解析　(1)由λ=0,μ=-2,有an+1an=2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得=0,则由上述递推公式易得=0.

2、重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,an≠0.从而an+1=2an(n∈N+),即{an}是一个公比q=2的等比数列.故an=a1qn-1=3·2n-1.(2)由λ=,μ=-1,数列{an}的递推关系式变为an+1an+an+1-=0,变形为an+1=(n∈N+).由上式及a1=3>0,归纳可得3=a1>a2>…>an>an+1>…>0.因为an+1===an-+·,所以对n=1,2,…,k0求和得=a1+(a2-a1)+…+(-)=a1-k0·+·>2+·=2+.另一方面,由上已证的不等式知a1>a2>…>>>2

3、,得=a1-k0·+·<2+·=2+.综上,2+<<2+.5.(2015四川,16,12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,求使得

4、Tn-1

5、<成立的n的最小值.解析　(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=

6、2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得=,所以Tn=++…+==1-.由

7、Tn-1

8、<,得<,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10.于是,使

9、Tn-1

10、<成立的n的最小值为10.考点2　数列的前n项和及性质1.(2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为　　　　. 答案　5.(2015课标Ⅰ,17,12分)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4

11、Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.解析　(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).由于an>0,可得an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(6分)(2)由an=2n+1可知bn===.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn==.(12分)6

12、.(2015山东,18,12分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.解析　(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=(2)因为anbn=log3an,所以b1=,当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n>1时,Tn=b1+b2+b3+

13、…+bn=+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n],所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],两式相减,得2Tn=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=+-(n-1)×31-n=-,所以Tn=-.经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=-.7.(2015浙江,20,15分)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*).解析　(1)由题意得an+1-an=-≤0,即an+1≤an

14、,故an≤.由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.由0