2016高考数学大一轮复习 3.1导数的概念及运算教师用书 理 苏教版

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1、§3.1　导数的概念及运算1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝

2、为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__0__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝　　5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠

3、0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　×　)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　×　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　√　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)(5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(　×　)(6)函数y＝的导数是y

4、′＝.(　×　)1．设函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，则x0＝________.答案　±解析　由已知得f′(x)＝ax2＋b.又f(3)＝3f′(x0)，则有9a＋3b＝3ax＋3b，所以x＝3，则x0＝±.2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________．答案　④解析　由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除①③.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝

5、f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，由图知②不符合，④符合，故④正确．3．(2014·广东)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．答案　5x＋y＋2＝0解析　因为y′

6、x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．答案　解析　∵y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的

7、三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A(，)，∴三角形的面积S＝×1×＝.题型一　利用定义求函数的导数例1　用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数．解　方法一　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1)＝x2＋2x·Δx＋Δx2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1＝(2x－2)Δx＋Δx2，所以＝＝[(2x－2)＋Δx]＝2x－2.所以函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数为f′(x)

8、x＝1＝2×1－2＝0.方法二　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1

9、－1)＝1＋2Δx＋Δx2－2－2Δx－1＋2＝Δx2，所以＝＝Δx＝0.故f′(x)

10、x＝1＝0.思维升华　(1)求函数f(x)的导数步骤：①求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率＝；③计算导数f′(x)＝.(2)利用定义法求解f′(a)，可以先求出函数的导数f′(x)，然后令x＝a即可求解，也可直接利用定义求解．　(1)函数y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均变化率＝________；该函数在x＝1处的导数是________________________