高中数学 3.5.1《对数函数的概念》教案 北师大版必修1(1)

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1、对数的公理化定义　　真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，　　底数则要大于0且不为1　　对数函数的底数为什么要大于0且不为1？　　【在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义:logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：logaM^n=nlogaM如果a<0，那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个

2、等于4，另一个等于-4）】　　通常我们将以10为底的对数叫常用对数（commonlogarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（naturallogarithm),并且把logeN记为InN.根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：　　当a〉0，a≠1时，a^x=N→X=logaN。　　由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：　　负数和零没有对数　　loga1=0logaa=1(a为常数)编辑本段对数的定义和运算性质

3、　　一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。　　底数则要>0且≠1真数>0对数的运算性质　　当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n∈R）　　(4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R)　　（5）换底公式：log(A

4、)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b≠1）　　(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)证明：　　设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)　　(7)对数恒等式：a^log（a)N=N;　　log（a）a^b=b　　（8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)　　1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M　　2.log(a)M^(m/n)=(m/n

5、)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M　　3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M　　4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M,　　log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的M为真数)=(n/m)log(a)M　　5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1对数与指数之间的关系　　当a>0且a≠1时，a^x=Nx=㏒(a)N编辑本段对数函数　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：　　可以看到对数函数

6、的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。　　（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。　　（2）对数函数的值域为全部实数集合。　　（3）函数图像总是通过（1，0）点。　　（4）a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。　　（5）显然对数函数无界。　　对数函数的常用简略表达方式：　　（1）log(a)(b)=log(a)(b)　　（2）lg(b)=log(10)(b)　　（3）ln(b)=log(e)(b)　　对数函数的运算性质：　　如果a〉0，且a不等于1,M>0

7、,N>0，那么：　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n属于R）　　（4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)（n属于R）　　对数与指数之间的关系　　当a大于0,a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=x　　log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)（n属于R）　　换底公式（很重要）　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(

8、b)(a)=lnN/lna=lgN/lga　　ln自然对数以e为底e为无限不循环小数(约为2.718281828454590)　　lg常用对数以10为底编辑本段常用简略表达方式　　（1）常用对