高中数学 1.9最小二乘估计教案 北师大版必修3

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1、最小二乘估计教学目标:1、掌握最小二乘法的思想2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点:最小二乘法的思想教学难点:线性回归方程系数公式的应用教学过程回顾:上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系,用了很多种方法来刻画这种线性关系,但是这些方法都缺少数学思想依据。问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些?想法:保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)。最小二乘法就是基于这种想法。问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效?设直线方程为y=a+bx,样本点A(xi,yi)方法一、点到直线的距离公式方法二、显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+b

2、x的距离,而且比方法一更方便计算,所以我们用它来表示二者之间的接近程度。问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度?例如有5个样本点,其坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5)与直线y=a+bx的接近程度:从而我们可以推广到n个样本点:(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)与直线y=a+bx的接近程度:使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法问题4、怎样使达到最小值?先来讨论3个样本点的情况设有3个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个

3、点的接近程度由下面表达式刻画:…………………①整理成为关于a的一元二次函数,如下所示:利用配方法可得从而当时,使得函数达到最小值。将代入①式,整理成为关于b的一元二次函数,同样使用配方法可以得到,当时,使得函数达到最小值。从而得到直线y=a+bx的系数a,b,且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数:其中由我们知道线性回归直线y=a+bx一定过。例题与练习例1在上一节练习中,从散点图可以看出,某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的。数据如下表[来源:学§科§网Z§X§X§K]气温(xi)/oC2

4、61813104-1杯数(yi)/杯202434385064(1)试用最小二乘法求出线性回归方程。(2)如果某天的气温是-3oC,请预测可能会卖出热茶多少杯。解:(1)先画出其散点图ixiyixi2xiyi12620676520[来源:Z#xx#k.Com]2182432443231334169442410381003805450162006-1641-64合计7023012861910可以求得则线性回归方程为y=57.557-1.648x(2)当某天的气温是-3oC时,卖出热茶的杯数估计为:练习1已知x,y之间的一组数据如下表,则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点(D)x0

5、[来源:Zxxk.Com]1[来源:Z,xx,k.Com]23y1357(A)(2,2)(B)(1.5,0)(C)(1,2)(D)(1.5,4)练习2某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:商店名称ABCDE销售额(x)/千万元35679利润额(y)/百万元23345(1)画出销售额和利润额的散点图;(2)若销售额和利润额具有相关关系,计算利润额y对销售额x的回归直线方程。解:(1)(2)数据如下表:ixiyixi2xiyi[来源:学科网]132962532515363361847449285958145合计3017200112可以求得b=0.5,a=0.4线性

6、回归方程为:小结1、最小二乘法的思想2、线性回归方程的系数:作业:P60习题1-8第1题

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