高中数学1.2.3同角三角函数的基本关系式学案新人教b版必修4

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1、1.2.3　同角三角函数的基本关系式1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)[基础·初探]教材整理　同角三角函数的基本关系阅读教材P22“例1”以上内容，完成下列问题.1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1.商数关系：＝tan_α.2.语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立.(　　)(2)对任意角α，＝tan都成立.(　　)(3)因为si

2、n2π＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角.(　　)(4)对任意角α，sinα＝cosα·tanα都成立.(　　)【解析】　由同角三角函数的基本关系知(1)√，(3)×，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(2)×，(4)×.【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：____________________

3、_____________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：_____________________________________________________

4、____[小组合作型]应用同角三角函数关系求值　(1)若sinα＝－，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)若cosα＝，求tanα的值；(3)若tanα＝－，求sinα的值.【精彩点拨】　对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果.对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论、分类求解，一般有两种结果.【自主解答】　(1)∵sinα＝－，α是第三象限角，∴cosα＝－＝－，tanα＝＝－×＝.(2)∵cosα＝>0，∴α是第一、四象限角.当α是第一象限角时，sinα＝＝＝，∴tanα＝＝；当α是第四象限角时，

5、sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝－.(3)∵tanα＝－<0，∴α是第二、四象限角.由可得sin2α＝2.当α是第二象限角时，sinα＝；当α是第四象限角时，sinα＝－.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.[再练一题]1.已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值.【解】　∵sinα

6、＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限.当角α的终边在第二象限时，cosα＝－，sinα＝；当角α的终边在第四象限时，cosα＝，sinα＝－.利用sinα±cosα，sinα·cosα之间的关系求值　已知0<α<π，sinα＋cosα＝，求tanα的值.【导学号：72010012】【精彩点拨】　sinα＋cosα＝→sinαcosα＝－→sinα－c

7、osα＝→sinα＝，cosα＝－→tanα＝－【自主解答】　由sinα＋cosα＝(1)得sinαcosα＝－<0，又∵0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，则sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝＝＝＝，(2)由(1)(2)解得sinα＝，cosα＝－，所以tanα＝＝－.1.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2.求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，

8、利用三角函数线判断它们的符号.[再练一题]2.已知0<α<π，sinα－cosα＝，求tanα的值.【解】　将sinα－cosα＝两边平方得，1－2s