高三数学一轮复习 2.3 平面向量学案

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1、专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量【最新考纲透析】1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。（3）理解向量的几何意义。2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。（4）理解用坐标表示的平面向

2、量共线的条件。4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。【核心要点突破】要点考向1：向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中

3、与其他知识点交汇在一起考查。3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的，，令⊙，下面说法错误的是（）A.若与共线，则⊙B.⊙⊙C.对任

4、意的，有⊙⊙D.(⊙)2【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B，若与共线，则有⊙，故A正确；因为⊙,，而⊙，所以有⊙⊙，故选项B错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性要点考向2：与平面向量数量积有关的问题考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）

5、是高考考查的重点。2．该类问题多数是单独命题，有时与其他知识交汇命题，考查学生分析问题、解决问题的能力。3．多以选择题、填空题的形式出现，有时会渗透在解答题中。考向链接：与平面向量数量积有关的问题1．解决垂直问题：均为非零向量。这一条件不能忽视。2．求长度问题：，特别地。3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在中，=90°AC=4，则等于（）A、-16B、-8C、8D、16【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.【思路点拨】由于=90，因此选向量CA，CB为基底.【规范解答】选D.

6、=(CB-CA)·(-CA)=-CB·CA+CA2=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.2.（2010·广东高考文科·Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=()A．6B．5C．4D．3【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出【规范解答】选.，所以.即：，解得：，故选.要点考向3：向量与三角函数的综合考情聚集：1．向量与三

7、角函数相结合是高考的重要考查内容，在近几年的高考中，年年都会出现。2．这类问题一般比较综合，考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具，考查三角恒等变换及三角函数的性质等。3．多以解答题的形式出现。例3．在直角坐标系（I）若；（II）若向量共线，当【解析】（1）…………2分又解得………………4分或…………6分（II）………………8分…………10分………………12分注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。【高考真题探究】1．（