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时间:2018-12-16
《2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.7立体几何中的向量方法课后作业理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.7 立体几何中的向量方法[重点保分两级优选练]A级一、选择题1.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C解析 由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0),∴cos〈,〉===.∴向量与的夹角为60°.故选C.2.(2018·伊宁期末)三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若〈n1,n2〉=,则二面角A-BD-C的大小为( )A.B.C.或D.或答案 C解析 ∵二面角的范
2、围是[0,π],且〈n1,n2〉=,∴二面角A-BD-C的大小为或.故选C.3.(2017·太原期中)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.答案 C解析 如图,以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2).∴=(0,-1,1),=(0,-1,2).∴cos〈,〉==.故选C.4.如图所示,在
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面答案 B解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(
4、-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.5.(2018·河南模拟)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为3,底面边长A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,D点在棱AA1上且AD=2DA1,P点在棱C1C上,则·的最小值为( )A.B.-C.D.-答案 B解析 建立如图所示的直角坐标系,则D(1,0,2),B1(0,1,3),设P(0,0,z)(0≤z≤3),则=(1,0,2-z),=(0,1,3-z),∴·=0+0+(2-z)(3-
5、z)=2-,故当z=时,·取得最小值为-.故选B.6.(2018·沧州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,E,F分别是BC,CD上的点,且BE=CF=a(06、=a-1-a+1=0.∴⊥,即D′E⊥B′F.故选B.7.(2017·聊城期中)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )A.B.C.D.答案 C解析 以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,0,0,E,,0,F,∴=(0,7、0,-2),=,=.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ==,∴PA与平面DEF所成角的正弦值为.故选C.8.(2018·江西红色七校模拟)已知二面角α-l-β等于120°,A,B是棱l上两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,则CD的长等于( )A.B.C.2D.答案 C解析 解法一:依题意可知二面角α-l-β的大小等于与所成的角,因为=++,所以2=2+2+2+2·+2·8、+2·,因为AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=1,所以2=1+1+1+2·=3+29、10、11、12、·cos〈,〉=3+2cos〈,〉,因为〈,〉=120°,所以〈,〉=60°,因此2=3+2×=4,所以13、14、=2,故选C.解法二:在β内作AE綊BD.连接CE、DE,易知∠CAE=120°,CE⊥DE,∴CE2=AC2+AE2-2×AC×AEcos120°=3.在Rt△CED中,CD2=CE2+ED2=4,∴CD=2.故选C.9.(2017·南
6、=a-1-a+1=0.∴⊥,即D′E⊥B′F.故选B.7.(2017·聊城期中)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )A.B.C.D.答案 C解析 以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,0,0,E,,0,F,∴=(0,
7、0,-2),=,=.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ==,∴PA与平面DEF所成角的正弦值为.故选C.8.(2018·江西红色七校模拟)已知二面角α-l-β等于120°,A,B是棱l上两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,则CD的长等于( )A.B.C.2D.答案 C解析 解法一:依题意可知二面角α-l-β的大小等于与所成的角,因为=++,所以2=2+2+2+2·+2·
8、+2·,因为AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=1,所以2=1+1+1+2·=3+2
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12、·cos〈,〉=3+2cos〈,〉,因为〈,〉=120°,所以〈,〉=60°,因此2=3+2×=4,所以
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14、=2,故选C.解法二:在β内作AE綊BD.连接CE、DE,易知∠CAE=120°,CE⊥DE,∴CE2=AC2+AE2-2×AC×AEcos120°=3.在Rt△CED中,CD2=CE2+ED2=4,∴CD=2.故选C.9.(2017·南
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